Глава 3. Греческая теория чисел

3.14. Роль теории чисел

В главе 1 мы видели, что теория чисел была важной в математике, по меньшей мере, столь же долго, сколь и геометрия, и с основополагающей точки зрения, может быть еще важнее. Несмотря на это, теория чисел никогда не подвергалась систематической трактовке, подобной той, которой подверглась элементарная геометрия в Началах Евклида. На всех этапах своего развития теория чисел имела бросающиеся в глаза пробелы, вследствие трудноразрешимости элементарных задач. Большая часть действительно нерешенных старых задач в математике, в сущности, — простые вопросы о натуральных числах 1,2,3,... Отсутствие общего метода решения диофантовых уравнений (раздел 1.3) и задача установления простых чисел вида (раздел 2.3) уже отмечались. Другие нерешенные задачи теории чисел будут упомянуты в нижеследующих разделах.

Как следствие, роль теории чисел в истории математики совершенно отличалась от роли геометрии. Геометрия играла стабилизирующую и объединяющую роль, вплоть до задержки иногда дальнейшего развития и создания популярного впечатления, что математика — статичный предмет. Для тех, кто способен понять ее, теория чисел оставалась стимулом к прогрессу и переменам. Лишь меньшинство математиков внесли вклад в успехи теории чисел, но в их число входят несколько великих: Диофант, Ферма, Эйлер, Лагранж и Гаусс. Эта книга подчеркивает те успехи в теории чисел, которые явились результатом глубоких связей с другими частями математики, особенно геометрией, поскольку они были самыми значительными для математики в целом. Тем не менее, в теории чисел есть темы, которые слишком интересны, чтобы их проигнорировать, даже если они представляются (в настоящее время) лежащими за пределами основного потока. В следующем разделе мы обсудим некоторые из них.