18.119. Сферическая геометрия
Отвергая 
из-за ее несовместимости с бесконечными линиями, Саккери избежал необходимости рассмотреть самую естественную
геометрию, в которой 
выполняется, геометрию сферы с большими кругами в качестве «линий». Сферическая геометрия развивалась со времен античности, отвечая потребностям астрономов и мореплавателей, и формулы длин сторон и площадей сферических треугольников были хорошо известны. Но сфера считалась частью евклидовой пространственной геометрии, поэтому аксиоматическое значение сферической геометрии вначале игнорировалось. Тем не менее, случилось так, что первые исследования Аксиомы 
направлялись аналогией со сферой.
Ламберт (1766) сделал потрясающее открытие, что Аксиома 
означает, что площадь треугольника с углами 
пропорциональна 
его угловому дефекту. Другими словами,
для некоторого положительного постоянного 
Заново открыв теорему Гарриота, что
для треугольника на сфере радиуса 
Ламберт задумался, что «можно было почти прийти к выводу, что новая геометрия будет истинной на сфере мнимого радиуса». Какой могла бы быть сфера радиуса 
никогда не объяснялось, но идея использования комплексных чисел для создания формул гипотетической геометрии оказалась плодотворной.
Установили, что формулы, выведенные из Аксиомы 
можно было также получить, заменив 
на 
в соответствующих формулах сферической геометрии. Например, Гаусс (1831) из Аксиомы 
сделал вывод, что окружность круга радиуса 
есть 
Тот же результат следует из замены 
на 
которая является окружностью круга радиуса 
на сфере (где 
конечно, измеряется на сферической поверхности. См. упражнение 18.2.1).
Геометрию Аксиомы 
Клейн (1871) назвал гиперболической. Одна из причин этого состоит в том, что ее формулы включают гиперболические функции, тогда как формулы сферической геометрии включают круговые функции. Ламберт (1766) ввел гиперболические функции и заметил их аналогию с круговыми функциями, но он не завершил полный перевод сферических формул в гипербол ические формулы. Это впервые сделал Тауринус (1826), один из членов небольшого кружка, который переписывался с Гауссом по геометрическим вопросам.
Это придало гиперболической геометрии вторую опору, но у нее под ногами, по-прежнему, не было ничего прочного. Ни Гаусс, ни
Тауринус, по-видимому, не были уверены, что нашли убедительную интерпретацию гиперболической геометрии, несмотря на то, что Гаусс (1827) подошел удивительно близко к теореме «Гаусса-Бонне». Как говорилось в разделе 17.6, эта теорема показывает, что поверхности постоянной отрицательной кривизны дают геометрию, в которой угловой дефект пропорционален площади, и Гаусс знал, что псевдосфера была такой поверхностью. Студент Гаусса, Миндинг (1840), даже показал, что гиперболические формулы для треугольников выполняются на псевдосфере, но никто в то время не комментировал вероятную важность этого результата для гиперболической геометрии. Возможно, было ясно, что псевдосфера не может служить «плоскостью», потому что она бесконечна только в одном направлении. Лишь в 1868 году, когда Бельтрами расширил псевдосферу до истинной гиперболической плоскости, — поверхности локально похожей на псевдосферу, но бесконечной во всех направлениях, — гиперболическая геометрия, наконец, была поставлена на прочную основу.
Упражнения
(см. скан)
