4.22. Метод исчерпывания
Метод исчерпывания, также приписываемый Евдоксу, — это обобщение его теории пропорций. Также как иррациональная длина определяется рациональными длинами с той и другой ее стороны, более общие неизвестные величины становятся определяемыми сколь угодно близкими аппроксимациями, используя известные фигуры. Примеры, данные Евдоксом (и изложенные в Книге XII Начал Евклида), — аппроксимация круга внутренними и внешними многоугольниками (рисунок 4.1) и аппроксимация пирамиды пучками призм (рисунок 4.2, который показывает самую очевидную аппроксимацию, нехитрую, которую фактически использовал Евклид). В обоих случаях аппроксимирующие фигуры известные величины, на основе теории пропорций и теоремы, что площадь треугольника 
основания х высота.
Рисунок 4.1: Аппроксимация круга
Рисунок 4.2: Аппроксимация пирамиды
Кусочно-линейные аппроксимации используются, чтобы показать, что площадь любого круга пропорциональна квадрату его радиуса, следующим образом. Предположим, что 
внутренние многоугольники и 
внешние многоугольники. Каждый многоугольник получен из своего предшественника делением
пополам дуг между его вершинами, как показано на рисунке 4.1. Тогда можно показать, с помощью элементарной геометрии, что разность площадей 
можно сделать произвольно малой, и, следовательно, 
аппроксимирует площадь С круга сколь угодно близко.
С другой стороны, элементарная геометрия также показывает, что площадь 
пропорциональна квадрату 
радиуса. Записав площадь как 
и используя теорию пропорций, чтобы обработать отношения площадей, мы имеем
Теперь пусть 
обозначает площадь круга радиуса 
и предположим, что
Выбрав 
которая аппроксимирует С достаточно близко, мы также получаем
что противоречит (1). Следовательно, знак 
неверен, и мы можем аналогичным образом показать, что 
неверен. Тагам образом, единственная возможность:
то есть, площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
Заметим, что «исчерпание» не означает использование бесконечной последовательности шагов, чтобы показать, что площадь пропорциональна квадрату радиуса. Скорее, показываешь, что любую непропорциональность можно опровергнуть за конечное число шагов (идя к подходящей 
Это типично для способа, в котором аргументы исчерпания избегают упоминания пределов и бесконечности.
В случае пирамиды, снова используешь элементарную геометрию, чтобы показать, что пучки призм аппроксимируют пирамиду сколь угодно близко. Затем исчерпание показывает, что объем пирамиды, как и объем призмы, пропорционален основанию х высота (см. упражнения ниже). Наконец, есть умный аргумент, чтобы показать, что постоянная пропорциональности — 1/3. Мы можем ограничиться случаем треугольных пирамид (поскольку любую пирамиду можно на них разрезать), и рисунок 4.3 показывает, как треугольная призма разрезается на три треугольные пирамиды. Можно видеть, что любые две из этих пирамид имеют равное основание и высоту, несмотря на то, что та
грань, которая принята за основание, зависит от того, такие пирамиды сравниваются, следовательно, все три равны по объему. Каждая, поэтому, составляет одну треть призмы, то есть 
основания х высота.
Рисунок 4.3: Разрезание призмы на пирамиды
Интересно, что в теории площади многоугольников метод исчерпывания Евклиду не понадобился. Все это можно сделать разбиением аргументов, тагах как. доказательство того, что площадь треугольника 
основания х высота (рисунок 4.4). В сущности, Фракашем Бойяи (1832а) показано, что все многоугольники 
равной площади можно разрезать на многоугольные куски 
так что 
равен 
Таким образом, мы можем определить многоугольники как равные по площади, если они обладают разбиениями на такие соответствующим образом равные куски.
Рисунок 4.4: Площадь треугольника
В известном списке математических задач Гильберта [Гильберт (1900а)] третья задача — принять решение, возможно ли аналогичное определение для многогранников. Ден (1900) показал, что это невозможно; действительно, тетраэдр и куб равного объема нельзя разбить на соответствующие равные многоугольные куски. Следовательно, необходимы бесконечные процессы определенного рода, такие как метод исчерпывания, чтобы определить равенство объема. Хорошо написанное описание теоремы Дена и соответствующие результаты можно найти у Болтянского (1978).
Упражнения
(см. скан)
