15.102. Топология комплексных проективных кривых
Для того, чтобы понять полную структуру комплексной проективной кривой, определенной 
нам необходимо знать ее поведение в бесконечности. В 
есть еще одна точка ветвления, похожая на точку в 
(просто замените х на 
на 
и заметьте, что мы смотрим на 
близко от 
ситуация такая же, как прежде). Топологическую природу зависимости между 
можно тогда понять с помощью модели, видимой на рисунке 15.9. Сфера (сфера 
покрыта двумя сферами (как луковичной шелухой), разрезанными вдоль линии от 
до 
и поперечно соединенными. Разрез от 
до 
произволен, но поперечное соединение необходимо, чтобы создать структуру точки ветвления в 
и 
Рисунок 15.9: Покрытие сферы
Покрытие сферы х этими двумя листовыми поверхностями выражает «покрытие проективного отображения» 
общей точки на кривой 
до ее х координаты и показывает, что оно двукратное, исключая точки ветвления 
Сама двулистная поверхность захватывает внутреннюю топологическую структуру кривой, и эту структуру можно гораздо легче увидеть, отделяя две кожицы от сферы х и друг от друга, затем соединяя требуемые края (рисунок 15.10). Края, которые следует соединить, обозначены теми же буквами, и мы видим, что результирующая поверхность топологически является сферой.
Рисунок 15.10: Соединение отдельных листов
Этот результат можно скорее получить, проектируя каждую точку (х,у) на кривой в у, поскольку это взаимно однозначное непрерывное отображение между кривой и у-осью, которое, как мы знаем, топологически является сферой (когда включена 
Кривая здесь была смоделирована разрезанием и соединением листов на сфере, потому что этот метод распространяется на все алгебраические кривые. Теория Ньютона Пюизе означает, что любую алгебраическую зависимость 
можно моделировать конечнолистным покрытием сферы, с конечным множеством точек ветвления. Самая общая структура точки ветвления определена предписанием для поперечного соединения (перестановки) листов, и разрезая листы между точками ветвления (или, если необходимо, до дополнительной точки) их можно вновь соединить, чтобы создать предписанное поведение ветвления.
Самый интересный случай этого метода — кубическая кривая
Эта зависимость определяет покрытие в сфере х, которое двулистное, поскольку для каждой х имеются положительное и отрицательное значения для у, с точками ветвления в 
(Точка ветвления в 
объясняется в нижеследующих упражнениях.) Тагам образом, если мы разрезаем листы от 
до а и от 
до 
требуемое соединение похоже на показанное на рисунке 15.11. Мы находим, как сделал Риман, что эта поверхность — тор, и, следовательно, топологически не такая, как сфера. Оказалось, что это открытие было открытием понимания кубических кривых и эллиптических функций, как мы увидим в следующей главе.
Рисунок 15.11: Соединение листов кубической кривой
Сразу видно, что рассматривая отношения вида
можно получить римановы поверхности формы, показанной на рисунке 15.12. Эти поверхности топологически отличаются друг от друга количеством «дыр»: 
для сферы, 1 для тора и т.д. Этот простой топологический инвариант оказывается родом, который также определяет тип функций, которые могут параметризовать соответствующую комплексную кривую. Другие геометрические и аналитические свойства рода будут раскрываться в следующих нескольких главах. Топологическое значение рода было установлено Мёбиусом (1863), когда он показал, что любая замкнутая поверхность в обыкновенном пространстве топологически эквивалентна одной из форм, видимых на рисунке 15.12.
Рисунок 15.12: Общая риманова поверхность
Упражнения
(см. скан)
