Глава 7. Аналитическая геометрия

7.40. Шаги к аналитической геометрии

Основная идея аналитической геометрии — это представление кривых уравнениями, но в этом не вся идея. Если бы это было так, то греки были бы первыми геометрами-аналитиками. Менехм, возможно, первым открыл уравнения кривых, вместе с открытием им конических сечений, и мы видели, как он использовал уравнения, чтобы получить как пересечение параболы и гиперболы (раздел 2.4). В исследовании Аполлонием конических сечений использовались уравнения, полученные как промежуточные результаты геометрических аргументов.

Греческой математике недоставало как раз как ни желания, ни техники, чтобы манипулировать уравнениями для получения информации о кривых. Греки скорее использовали кривые для изучения алгебры, чем наоборот. Построение Менехма — отличный пример этого: извлечение корней не было заданной операцией, а операцией, которую следовало обеспечить с помощью геометрического построения. Подобным же образом, уравнение не было самостоятельной категорией, а было свойством кривой, которое можно было открыть после того, как кривая построена геометрически. Это было естественным состоянием дел до тех пор, пока уравнения записывались словами. Когда, как у Аполлония, запись уравнения занимает половину страницы, трудно составить общую концепцию уравнения, функции или кривой. Отсюда недостаток общего понятия кривой в греческой математике — оно было слишком сложным для оперирования на их языке.

В средние века идея координат появилась иным образом в работе Орема (около 1323-1382 гг.). Координаты использовались в астрономии и географии со времен Гиппарха (около 150 г. до н. э.); действительно, Орем назвал свои координаты «долгота» и «широта», но он, по-видимому, первый использовал их, чтобы представить функции, например, скорость, как функцию времени. Установив систему координат

до определения кривой, Орем сделал шаг вперед по сравнению с греками, но ему также не хватало алгебры, чтобы двигаться дальше.

Шаг, который, наконец, сделал аналитическую геометрию возможной, — это решение уравнений и усовершенствование системы обозначений в шестнадцатом веке, который мы обсудили в предыдущей главе. Этот шаг дал возможность рассматривать уравнения, и, следовательно, кривые, в некоторой общности и иметь уверенность в собственной возможности манипулировать ими. Как мы увидим в следующем разделе, на обоих основателей аналитической геометрии, и Ферма, и Декарта, сильно повлияли эти усовершенствования.

За более подробным описанием развития аналитической геометрии отсылаем читателя к отличной книге Бойера (1956).

Упражнения

(см. скан)