3.17. Уравнение Пелля
Диофантово уравнение 
где 
неквадратное целое число, известно как уравнение Пелля, потому что Эйлер ошибочно приписал его решение английскому математику семнадцатого века Пеллю (его следовало приписать Браункеру). Уравнения Пелля, вероятно, самое известное диофантово уравнение после уравнения 
для пифагоровых троек, и в некоторых отношениях оно важнее. Решение уравнения Пелля — главный шаг в решении общего квадратного диофантова уравнения в двух переменных [см., например, Гельфонд (1961)], а также ключевой инструмент в доказательстве теоремы Матьясевича, упомянутой в разделе 1.3, о том, что алгоритма для решения всех диофантовых уравнений нет [см., например, Дейвис (1973) или Джонс и Матьясевич (1991)]. Принимая это во внимание, именно уравнению Пелля следует впервые появиться в основах греческой математики, и видеть, как хорошо греки его понимали производит глубокое впечатление.
Простой случай уравнения Пелля
изучался пифагорейцами в связи с 
Если х,у — большие решения этого уравнения, тогда 
фактически, пифагорейцы нашли способ порождения все больших и больших решений посредством рекуррентных соотношений
Краткий расчет показывает, что
поэтому если 
удовлетворяет 
тогда 
удовлетворяет 
Начиная с тривиального решения 
мы получаем последовательно большие решения 
уравнения 
[Пары 
известны 
боковые и диагональные числа, потому что отношение 
стремится к отношению стороны и диагонали в квадрате.]
Но как, прежде всего, могли быть открыты эти рекуррентные соотношения? Ван дер Варден (1976) и Фаулер (1980,1982) предполагают, что ключ — это евклидов алгоритм, примененный к отрезвим прямой, операция, которую греки называли anthyphairesis. При заданных любых двух длинах 
, можно определить последовательность 
как в разделе 3.2, многократным вычитанием меньшей длины из большей. Если 
целые кратные некоторой единицы, тогда процесс завершается как в разделе 3.3, но если 
иррациональное число, он продолжается бесконечно. Мы вполне можем представить, что пифагорейцы, как правило, интересовались 
примененным к 
Вот что происходит. Мы представляем 
сторонами прямоугольника, и каждое вычитание меньшего числа из большего представлено отсечением квадрата на более короткой стороне (рисунок 3.2). Мы замечаем, что прямоугольник, остающийся после шага 2, со сторонами 
имеет ту же форму, что и исходный, хотя длинная сторона теперь вертикальна, а не горизонтальна. Отсюда следует, что аналогичные шаги будут повторяться бесконечно, что, между прочим, является еще одним доказательством того, что 
иррационально.
Рисунок 3.2: Евклидов алгоритм на 
и 1
Шаг 1
Шаг 2
В настоящий момент нас, однако, интересует соотношение между последовательными подобными прямоугольниками. Если мы допустим, что длинная и короткая стороны последовательных подобных прямоугольников 
то из рисунка 3.3 мы можем сделать вывод, что рекуррентные соотношения для 
— в точности соотношения пифагорейцев! Разница заключается в том, что наши 
не являются целыми, и они удовлетворяют 
не 
Тем не менее, чувствуешь, что рисунок 3.3 дает самую естественную интерпретацию этих соотношений. Открытие, что те же самые соотношения порождают решения 
возможно, возникло из желания, чтобы евклидов алгоритм завершался 
Если пифагорейцы начинали с 
и применяли рекуррентные соотношения, то они могли найти, что 
удовлетворяет 
как мы сделали ранее.
Рисунок 3.3.: Рекуррентное соотношение
В греческой математике встречается множество других случаев уравнения Пелля 
и их можно понять похожим образом, применяя anthyphairesis к прямоугольнику со сторонами 
В седьмом веке н. э. индийский математик Брахмагупта привел рекуррентное соотношение для порождения решений 
как мы увидим в главе 5. Индийцы называли евклидов алгоритм «пульверизатором», поскольку он разбивает числа на все более мелкие части. Чтобы получить рекуррентное соотношение, нужно знать, что прямоугольник, пропорциональный исходному, в конечном счете, повторяется, факт, который строго доказал Лагранж лишь в 1768 году. Последующая работа в Европе над уравнением Пелля, которая началась в семнадцатом веке с Браункера и других, основывалась на непрерывной дроби для 
хотя это равносильно тому же результату, что и anthyphairesis (см. упражнения). Сжатую, но подробную историю уравнения Пелля см. у Диксона (1920), стр. 341-400.
Интересный аспект теории — весьма нерегулярная зависимость между 
и количеством шагов anthyphairesisa, прежде чем повторяется прямоугольник, пропорциональный исходному. Если число шагов велико, то наименьшее нетривиальное решение 
огромно. Известный пример — так называемая задача о быках Архимеда (287-212 гг. до н. э.). Эта задача приводит к уравнению
наименьшее решение которого, найденное Крумбигелем и Амтором (1880), имело 206 545 знаков!
