18.123. Комплексные интерпретации

Одной из характеристик евклидовой плоскости является существование правильных мозаик: покрытий плоскости правильными многоугольниками. Имеются, конечно, три таких покрытия, основанные на квадрате, равностороннем треугольнике и правильном шестиугольнике (рисунок 18.12). С каждым покрытием связана группа движений твердого тела плоскости, которая отображает узор покрытия на себя. Например, узор из единичных квадратов отображается на себя единичными переносами, параллельными осям х и у, и вращением вокруг начала координат, и эти три движения порождают все движения мозаики на себя. Если мы запишем то эти порождающиеся движения задаются преобразованиями

Рисунок 18.12: Мозаики евклидовой плоскости

Мозаики треугольника и шестиугольника имеют похожую группу движений, порожденную

где третья вершина равностороннего треугольника, другие вершины которого находятся в 0,1 (рисунок 18.13). В более общем смысле, всякое движение евклидовой плоскости можно составить из переносов вращений

Рисунок 18.13: Зависимость между мозаиками треугольника и шестиугольника

Сфера также допускает конечное множество правильных мозаик, полученных центральными проекциями правильных многогранников (раздел 2.2). На рисунке 18.14 показана сферическая мозаика, соответствующая икосаэдру. (Каждая грань далее разделена на шесть конгруэнтных треугольников.) Движения, которые отображают такую мозаику на себя, также можно выразить как комплексные преобразования, интерпретируя сферу как через стереографическую проекцию (раздел 16.2). Гаусс (1819) нашел, что любое движение сферы можно выразить преобразованием вида

где и черта сверху обозначает комплексную сопряженную.

Рисунок 18.14: Икосаэдрическая мозаика сферы

Конформные модели гиперболической плоскости можно считать частями С: единичного диска и полуплоскости Их движения твердого тела, будучи конформными преобразованиями, являются комплексными функциями, и Пуанкаре сделал прекрасное открытие, что они имеют вид

(для диска) и

где (для полуплоскости). Возможно бесконечное множество правильных мозаик, поскольку углы правильного -угольника можно сделать произвольно малыми, увеличивая его площадь. Например, существуют мозаики равносторонних треугольников, в которых треугольников пересевается в каждой вершине, при всяком и похожее разнообразие возможно для других многоугольников (см. упражнения).

Некоторые из этих мозаик были известны прежде, чем Пуанкаре (1882) дал комплексную интерпретацию гиперболической геометрии, и даже прежде, чем вообще была известна какая-нибудь модель гиперболической геометрии. На рисунке 18.15 показана мозаика равносторонними треугольниками с углом найденная в неопубликованной, и, к сожалению, без даты, работе Гаусса (Соч., т. VIII, с. 104).

Рисунок 18.15: Мозаика Гаусса

Другие являются результатом так называемого гипергеометрического дифференциального уравнения, и они были вновь открыты в том же самом контексте Риманом (1858b) и Шварцем (1872) (первый опубликованный пример, рисунок 18.16). Объясняя эти мозаики в понятиях гиперболической геометрии, Пуанкаре (1882) впервые показал, что гиперболическая геометрия была частью существовавшей до этого математики, геометрическую природу которой ранее не понимали.

Рисунок 18.16: Мозаика Шварца

В следующей статье Пуанкаре (1883) объяснил геометрическую природу дробно-линейных преобразований,

частный случай которых, как мы видели, выражает движения твердого тела двумерной евклидовой, сферической и гиперболической геометрий. Он показал, что всякое дробно-линейное преобразование плоскости С вызвано гиперболическим движением трехмерного полупространства с граничной плоскостью таким образом, теорема Пуанкаре охватывает теоремы Вахтера и Бельтрами о представлении двумерной евклидовой, сферической и гиперболической геометрии в трехмерной гиперболической геометрии.

Упражнения

(см. скан)