6.38. Уравнения более высокой степени

Общее уравнение четвертой степени, или квартика,

было решено учеником Кардано, Феррари, и решение опубликовано у Кардано (1545), с. 237. Линейное преобразование приводит уравнение к виду

или

Тогда для любого у

Квадратное уравнение С в правой части будет квадратом, если которое является кубическим уравнением для у. Мы, поэтому, можем решить для у и принять квадратный корень обеих частей уравнения для х, который тогда становится квадратным уравнением и, следовательно, тоже решаемым. Конечный результат — это формула для х, использующая как раз квадратные и кубические корни рациональных функций коэффициентов.

Впечатляющее преимущество решения кубических уравнений увеличило надежды, что уравнения более высокой степени также могут быть решены с помощью формул, построенных из коэффициентов при помощи рациональных операций и корней, и решение с помощью радикалов, как его назвали, стало главной целью алгебры в течение следующих 250 лет. Однако, все такие попытки решить общее уравнение пятой степени (квинтику) окончились неудачей. Самое большее, что удавалось сделать, — это привести его к виду

только с одним параметром. Это было сделано Брингом (1786), и краткое описание его метода можно найти у Пирпонта (1895). Результат Бринга появился в безвестном издании и оставался незамеченным в течение 50 лет, или он мог бы снова зажечь надежды на решение уравнения пятой степени с помощью радикалов. Оказалось, что Руффини (1799) предложил первое доказательство того, что это невозможно. Доказательство Руффини было не вполне убедительным; однако, он был реабилитирован, когда Абелем (1826) дано было удовлетворительное доказательство, а также еще раз с помощью прекрасной общей теории уравнений Галуа (1831b).

Положительным итогом результата Бринга было неалгебраическое решение уравнения пятой степени Эрмитом (1858). Приведение к уравнению с одним параметром открыло путь к решению с помощью трансцендентных функций, аналогично решению Виета кубического уравнения с помощью тригонометрических функций. Соответствующие функции, эллиптические модулярные функции, были открыты Гауссом, Абелем и Якоби, а Галуа (1831а) дал указание на их связь с уравнениями

пятой степени. Эта необычайная конвергенция математических идей явилась главной темой Клейна (1884).

Ввиду трудностей с уравнениями пятой степени, естественно, что с общим уравнением степени прогресс был незначительным. Однако, два простых, но важных вклада, были сделаны Декартом (1637). Первый — это система обозначений верхних индексов для степеней, которой мы сейчас пользуемся: и т.д. (Хотя не что довольно странно. Квадрат х продолжали записывать как вплоть до следующего века.) Второй — это теорема [Декарт (1637, с. 159], что многочлен со значением 0, когда имеет множитель . Поскольку деление многочлена степени на дает многочлен степени теорема Декарта увеличила надежду на разложение каждого многочлена степени на линейных множителей. Как показывает глава 14, эта надежда осуществилась с развитием комплексных чисел.

Упражнения

(см. скан)