16.106. Теорема Коши

Мы видели, что результатом интегрирования являются интересные комплексные функции. Например, эллиптические функции появляются из обращения эллиптических интегралов (раздел 12.3). Однако, сначала не ясно, что означает интеграл когда комплексные числа. Естественно, и технически нетрудно, определить как интеграл вдоль кривой от до проблема в том, что по-видимому, зависит от и, следовательно, может не быть сколько-нибудь похожим на функцию как хотелось бы.

Первым, кто осознал и разрешил эту проблему, по-видимому, был Гаусс. В письме к Бесселю Гаусс (1811) поднял эту проблему и заявил о ее разрешении следующим образом:

Как следует ныне думать для Очевидно, если захочется начать с четких понятий, то следует допустить, что изменяется бесконечно малыми приращениями (каждое вида от того значения, для которого интеграл должен быть 0, до и затем суммировать все Но сейчас... непрерывный переход от одного значения к другому а имеет место вдоль кривой и, следовательно, возможен бесконечно многими способами. Сейчас я предполагаю, что интеграл всегда будет иметь одно и то же значение после двух различных переходов, если никогда не станет бесконечной в пределах области, окруженной двумя кривыми, представляющими эти переходы.

[Перевод Гаусса (1811) у Биркгофа (1973)]

В том же письме Гаусс также заметил, что, если действительно становится бесконечной в области, тогда вообще, примет различные значения, если интегрировать вдоль различных кривых. Он, в частности, увидел, что бесконечное множество значений с соответствовало различным путям, которыми могла виться траектория от 1 до с вокруг точки, где становится бесконечной.

Теорема, что независим от пути через область, где конечна (и дифференцируема, что для Гаусса было само собой разумеющимся) известна как теорема Коши, поскольку Коши первым предложил ее доказательство и вывел следствия из теоремы. Эквивалентная и более удобная формулировка: для любой замкнутой кривой в области, где дифференцируема. Коши представил доказательство Парижской Академии в 1814 году, но впервые опубликовал его позже [Коши (1825)]. В Коши (1846) он представил более прозрачное доказательство, основанное на уравнениях Коши-Римана и теореме Грина (1825) и Остроградского (1828), которая связывает линейный интеграл с поверхностным интегралом. Последняя теорема, обычно известна как теорема Грина, является обобщением основной теоремы исчисления на действительные функции двух переменных, и может быть сформулирована следующим образом: если — простая замкнутая кривая, ограничивающая область и

подходяще гладкая, тогда

где обозначает поверхностный интеграл над и обозначает линейный интеграл вокруг в направлении против часовой стрелки. (Разница в знаке в двух формулах отражает различный смысл когда х и у взаимозаменяемы.)

Теорема Коши следует из теоремы Грина по простому вычислению. Если

— разложение на действительную и мнимую части, и, если мы запишем

то

поскольку

по уравнениям Коши-Римана. Это доказательство требует, чтобы имела непрерывную первую производную для того, чтобы можно было применить теорему Грина. Ограничение на непрерывность в доказательстве устранил Гурса (1900). Оказывается, если существует, она не только будет иметь непрерывность, она также будет иметь производные всех порядков. Это следует из одного из замечательных следствий, которое Коши (1837) вывел из предположения а именно, что имеет разложение в степенной ряд. По Гурса (1900), в таком

случае, дифференцируемости комплексной функции достаточно, чтобы гарантировать разложение в степенной ряд. Обобщение этого результата до которая становится бесконечной в изолированных точках, сделано Лораном (1843) тогда имеет разложение, включающее отрицательные степени; это лорановское разложение), и до «многозначной» с точками ветвления — Пюизе (1850) тогда имеет разложение в дробные степени, разложение Пьютона - Пюизе).

Упражнения

(см. скан)