7.44. Построение уравнений и теорема Безу

В разделах 7.1, 7.2 и 7.3 развитие аналитической геометрии описано в общих чертах от первых наблюдений уравнений как свойств кривых до полного осознания того, что уравнения определяли кривые, и, что понятие (полиномиального) уравнения было ключом к понятию (алгебраической) кривой. Оглядываясь на прошлое, мы можем сказать, что Геометрия Декарта [Декарт (1637)] была важным шагом в созревании предмета, но книга не определяет окончательно, что такое аналитическая геометрия. Действительно, она в значительной степени посвящена двум промежуточным темам в развитии предмета: теории уравнений шестнадцатого века и теперь почти забытой дисциплине, называемой «построение уравнений».

Образцом построения уравнения было построение Менехма при помощи пересечения параболы и гиперболы. С геометрической точки

зрения, используются знакомые кривые (парабола и гипербола), чтобы построить менее знакомую длину Это становится яснее, когда выражено алгебраически: кривые 2-й степени используются для решения уравнения 3-й степени: . В 1620х гг. Декарт открыл нечто более общее: метод решения любого уравнения третьей и четвертой степени пересечением кривых 2-й степени, параболы и круга. Его друг Бекман (1628) сообщил в заметке, что «месье Декарт создал столь много из этого изобретения, что он сознался, что никогда не встречал ничего превосходящего себя, и, что даже никто другой никогда не находил ничего лучшего» [перевод Боса (1981), с.330]. Декарт не был столь превосходен, как он думал, поскольку Ферма независимо сделал то же самое открытие в неопубликованной работе [Ферма (1629)], усилив уже необычайное совпадение между своей работой и работой Декарта. Однако Ферма, видимо, не занимался этой идеей дальше, а Декарт занялся.

В Геометрии Декарт нашел особую кубическую кривую, так называемую декартову параболу, пересечения которой с соответствующим кругом дают решение любого заданного уравнения пятой или шестой степени. Декарт завершает книгу этим результатом, весело сообщая читателю, что нужно только следовать тому же методу, чтобы построить все задачи, все более и более сложные, до бесконечности; поскольку в случае математической прогрессии, всякий раз, когда заданы первые два или три члена, легко найти остальные.

[Декарт (1637), с. 240]

В действительности это было нелегко, и попытки найти удовлетворительное общее построение для уравнений степени иссякли около 1750 года. История подъема и падения этой области математики рассказана Босом (1981, 1984).

В поисках общего построения, математики случайно предположили, что кривая степени пересевает кривую степени точках. Первая формулировка этого принципа, который получил известность как теорема Безу, по-видимому, сделана Ньютоном 30 мая 1665 года:

Ибо число точек, в котором могут пересекаться две линии, никогда не может быть больше, чем прямоугольник чисел их размеров. И они всегда пересекаются в столь многих точках, исключая те, которые только мнимые.

[Ньютон (1665b), с. 498]

Теорема Безу заставляет предполагать, что решения уравнения степени могут быть получены из пересечений соответствующей кривой степени то с соответствующей кривой степени На алгебраическом языке, идет поиск уравнений

степеней то, соответственно, исключение из которых у дает заданное уравнение

в качестве «результанта». Вот как математики Запада впервые встретились с задачей исключения, которую китайцы решили несколькими столетиями ранее (раздел 6.2).

Однако кроме того факта, что построение уравнений было обратно исключению, и гораздо труднее, западным математикам необходимы были два дополнительных факта о самом исключении: первый, что исключение между уравнениями степеней тип давало результант степени второй, что уравнение степени имеет корней. Второе утверждение, как указано в разделе 6.7, становится фактом только, когда допускаются комплексные числа. Первое становится фактом только, когда допускаются «точки в бесконечности». Если, например, (1) и (2) — уравнения параллельных линий, тогда (3) — «степени 0» и не имеет решений. Однако, можно считать, что параллельные линии пересекаются «в бесконечности», и геометрическое оформление этой идеи, проективная геометрия, развивалась примерно в то же самое время, что и аналитическая геометрия. К сожалению, до девятнадцатого века не осознавали, что проективная и аналитическая геометрии нуждались друг в друге. До того времени проективная геометрия развивалась без координат, и все попытки доказать теорему Безу [особенно Маклореном (1720), Эйлером (1748b), Крамером (1750) и Безу (1779)] терпели неудачу из-за недостатка точного метода подсчета точек в бесконечности. В результате, теорема Безу, которая оказалась основным достижением теории построения уравнений, не была должным образом доказана долгое время после того, как отказались от самой теории.

Истоки проективной геометрии и плоды ее слияния с аналитической геометрией обсуждаются в главе 8.

Упражнения

(см. скан)