6.36. Решение кубических уравнений

В наши дни Сципионе дель Ферро из Болоньи решил случай куба и первой степени, равной постоянной, весьма элегантное и восхитительное достижение. Поскольку это искусство превосходит всю человеческую ловкость и проницательность таланта смертного, и поистине есть небесный дар и очень ясное мерило возможности умов людей, кто бы ни посвящал себя ему, поверит, что здесь нет ничего, что он не может понять. В подражание ему, мой друг Никколо Тарталья из Бреши, желая быть непревзойденным, решил тот же случай, когда вступил в состязание с его [Сципионе] учеником, Антонио Марией Фиором, и движимый многими моими мольбами, дал его мне... получив решение Тартальи и ища доказательство его, я пришел к пониманию, что здесь можно было также сделать великое множество других вещей. Преследуемый этой мыслью и с возросшей верой, я обнаружил эти другие вещи, частично сам, частично с помощью Лодовико Феррари, некогда моего ученика.

[Кардано (1545), с.8]

Решение кубических уравнений в начале шестнадцатого века было первым очевидным успехом в математике со времен греков. Оно выявило мощь алгебры, которую греки не смогли покорить, мощь, которая вскоре должна была расчистить новый путь к геометрии, которая, возможно, была царским путем (аналитической геометрией и исчислением). Восторг Кардано при этом открытии вполне понятен. Даже в двадцатом веке, личное открытие решения кубического уравнения стимулировало, по крайней мере, одну выдающуюся математическую карьеру

Что касается истории оригинального открытия, то мы не знаем больше того, о чем нам рассказывает Кардано. Сципионе дель Ферро умер в 1526 году, поэтому первое решение было известно до того времени. Тарталья открыл его решение 12 февраля 1535 года, вероятно, независимо, потому что он решил все задачи в соперничестве с учеником дель Ферро, Фиором, тогда как Фиор нет. Кардано почти все обвиняли, начиная с Тартальи, в краже решения Тартальи, но его собственное описание, видимо, распределяет заслуги вполне справедливо. Более подробно историю вопроса см. во введении и предисловии у Кардано (1545) и Кроссли (1987).

Кардано представляет алгебру в геометрическом стиле аль-Хорезми (которого в начале своей книги он характеризует как основоположника алгебры), различая случаи, которые вытекают из избежания отрицательных коэффициентов. Игнорируя эти сложности, его решение можно описать следующим образом. Кубическое уравнение сначала преобразуется в уравнение без квадратного члена линейным изменением переменной, а именно, Тогда имеем, скажем,

Полагая левая часть принимает вид

что будет равняться предыдущей правой части, если

Исключение дает квадратное уравнение в

с корнями

По симметрии, мы получаем те же самые значения для И поскольку если полагаем, что один из корней то другой — Без потери общности, мы можем принять

и, следовательно,

Упражнения

(см. скан)