12.82. Эллиптические функции
Идея обращения эллиптических интегралов для получения эллиптических функций возникла благодаря Гауссу, Абелю и Якоби. У Гаусса идея появилась в конце 1790-х 
но он не опубликовал ее; у Абеля — в 1823 году, и он опубликовал ее в 1827 году, независимо от Гаусса. Независимость Якоби до некоторой степени не столь ясная. По-видимому, он приближался к идее обращения в 1827 году, но к действию его побудило лишь появление статьи Абеля. Во всяком случае, его идеи впоследствии развивались со взрывной скоростью, и два года спустя он опубликовал первую книгу об эллиптических функциях, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, [Якоби (1829)].
Гаусс впервые рассмотрел обращение эллиптического интеграла в 1796 году, в случае 
В следующем году он обратил лемнискатный
интеграл и продвинулся вперед дальше. Определяя «ле-мнискатную синусоидальную функцию» 
через
он нашел, что эта функция была периодической, как синус, с периодом
Гаусс также заметил, что 
вызывает комплексные аргументы, поскольку из 
следует, что
следовательно, 
и лемнискатный синус имеет второй период 
Таким образом, Гаусс открыл двойную периодичность, одно из ключевых свойств эллиптических функций, хотя вначале он не осознал его универсальность. Область действия и значение эллиптических функций он обнаружил 30 мая 1799 года, когда он открыл необычайное численное совпадение. Вот запись в его дневнике об этом дне:
Мы установили, что арифметически-геометрическое среднее между 
есть 
до 11 разрядов; доказательство этого факта, несомненно, откроет новое поле анализа.
Гаусс был очарован арифметически-геометрическим средним с 1791 года, когда ему было 14 лет. Арифметически-геометрическое среднее двух положительных чисел a и b — это общий предел, 
двух последовательностей 
определенных
[Более подробную информацию о теории и истории функции см. Кокс 
Действительно, верно, что 
как вскоре доказал Гаусс, и «полностью новое поле» анализа, которое он создал из слияния
этих идей, было необычайно богатым. Оно заключало в себе эллиптические функции вообще, тета-функции, позже заново открытые Якоби, и модулярные функции, позже заново открытые Клейном. Теория, очевидно, не совершенствовалась до 1850-х гг., когда Риман показал, что двойная периодичность становится очевидной, когда эллиптические интегралы помещены в подходящее геометрическое окружение.
К сожалению, Гаусс, фактически, не опубликовал ни один из своих результатов об эллиптических функциях. Кроме публикации выражения для 
как эллиптической функции [Гаусс (1818)], он не сделал ничего до того, как в 1827 году появились результаты Абеля, затем сразу объявил их своими. Он писал Бесселю [Гаусс (1828)]:
Я, скорее всего, не подготовлю свою исследования по трансцендентным функциям, которые я проводил в течение многих лет — с 1798 года.... Господин Абель сегодня, как я вижу, опередил меня и освободил меня от бремени относительно одной трети этих материалов.
Со стороны Гаусса неискренне было заявлять, что у него больше результатов, чем у Абеля, потому что у Абеля также были результаты, неизвестные Гауссу. Верно, у Гаусса был приоритет по ключевым идеям обращения и двойной периодичности, но приоритет еще не все, как. возможно, знал сам Гаусс. Его собственное взлелеянное открытие зависимости между 
и эллиптическими интегралами не только не было найдено ранее, но даже опубликовано Лагранжем (1785).
Упражнения
(см. скан)
