13.89. Гидродинамика
Свойства потока жидкости исследовались с древнейших времен, вначале в связи с практическими вопросами, такими как водообеспеченность и гидромеханизмы. Однако ничего похожего на математическую теорию не было создано до эпохи Возрождения, и до пришествия исчисления можно было только рассматривать довольно грубые макроскопические величины, такие как средняя скорость истечения из отверстия в резервуаре. Ньютон (1687), Книга II ввел в изучение жидкостей методы бесконечно малых, но многое в его рассуждении неполно, основано на неподходящих математических моделях или просто неверно. Даже в 1738 году, когда область гидродинамики, наконец, получила свое название в классическом труде Даниила Бернулли Гидродинамика, основные инфитизимальные законы движения жидкостей, по-прежнему, открыты не были.
Первый важный закон был открыт Клеро (1740), в контексте, который, по существу, был, в основном, статическим. Клеро интересовался одним из актуальных вопросов своего времени, формой (или «фигурой») Земли. Ньютон доказывал, что Земля должна быть отчасти выпуклой на экваторе в результате спина. Естественно, как сейчас представляется (и, несомненно, тогда, поскольку явление ясно наблюдалось на Юпитере и Сатурне), на это возразил противник Ньютона, Кассини, который приводил доводы в пользу веретенообразной формы Земли, вытянутой к полюсам. Клеро, действительно, принял участие в экспедиции в Лапландию, которая подтвердила догадку Ньютона с помощью измерений, но он также подошел к решению задачи теоретически, изучая условия равновесия массы жидкости.
Он рассмотрел векторное поле силы, действующей на жидкость, и заметил, что она должна быть тем, что мы сейчас называем безвихревым или потенциальным полем. То есть, интеграл силы вокруг любой замкнутой траектории должен быть нулевым; иначе жидкость будет циркулировать. Условие, которое он фактически сформулировал, эквивалентно условию, что интеграл между любыми двумя точками будет независим от траектории. В частном двумерном случае, где имеются составляющие 
силы в направлениях 
величина, которую нужно интегрировать, следующая
Клеро доказывал, что в силу независимости интеграла от траектории, эта величина должна быть полным дифференциалом
Следовательно, 
удовлетворяют условию
Это условие действительно необходимо, но существование потенциала 
означало больше математических тонкостей, чем можно было предвидеть в то время. Клеро вывел соответствующие уравнения для составляющих 
в физически более естественном трехмерном случае и дошел до изучения эквипотенциальных поверхностей 
Он также нашел удовлетворяющее решение задачи фигуры Земли. Когда сила в точке является результирующей силы тяжести и силы вращения, тогда эллипсоид вращения — фигура равновесия, при этом ось вращения короче оси эллипса [Клеро (1743), с. 194].
Оказалось, что двумерное уравнение (1), несмотря на то, что является физически частным, хотя и естественным, имеет глубокое математическое значение. Оно было открыто в динамической ситуации, полагая, что 
скорее составляющие скорости, чем силы. В этом случае (1) по-прежнему выполняется, когда течение автономное и безвихревое, как показал Даламбер (1752) посредством аргументации, похожей на аргументацию Клеро. Решающий дополнительный факт, который сейчас возникает, состоит в том, что 
удовлетворяют второму
отношению
выведенному Даламбером как следствие несжимаемости жидкости. Он рассмотрел бесконечно малый прямоугольник жидкости с концами в точках (х,у), 
(х,у 
и параллелограмм, в который он переносится в бесконечно малый интервал времени известными скоростями 
Уравнивание площадей этих двух параллелограммов приводит к (2). В трехмерном случае подобным же образом получаем
но значение (1) и (2), как открыл Даламбер, состоит в том, что их можно объединить в единый результат о комплексных функциях 
Эта вспышка вдохновения стала основой теории комплексных функций, разработанных в девятнадцатом веке Коши и Риманом (см. раздел 16.1).
Упражнения
(см. скан)
