17.113. Кривизна поверхностей

Первый подход к определению кривизны в точке поверхности в трехмерном пространстве должен был выражать ее на основе кривизны плоских кривых, рассматривая сечения плоскостями, проходящими через нормаль в Конечно, другие плоскости, нормальные поверхности в могли разрезать поверхность совершенно другими кривыми, с другой кривизной, как показывает пример цилиндра (рисунок 17.6).

Рисунок 17.6: Сечения цилиндра

Однако среди этих кривых одна будет максимальной кривизны и одна минимальной кривизны (которая может быть отрицательной, поскольку мы присваиваем кривизне знак соответственно стороне, на которой лежит центр кривизны). Эйлер (1760) показал, что эти две кривизны «1 и «2, которые называются главные кривизны, встречаются в перпендикулярных сечениях, и, что вместе они определяют кривизну к в сечении под углом а к одному из главных сечений через

Вот как далеко можно дойти до тех пор, пока кривизна поверхностей подчинена кривизне плоских кривых. Более глубокая идея пришла Гауссу в процессе его работы в геодезии (съемка и составление карт): кривизна поверхности может быть определима внутренне, то есть, с помощью измерений, которые полностью происходят на поверхности. Кривизна Земли, например, был известна на основе измерений, сделанных исследователями и геодезистами, а не (во времена Гаусса) осмотром ее из космоса. Гаусс (1827) сделал выдающееся открытие, что величину можно определить внутренне, и, следовательно, она может служить внутренней мерой кривизны. Он был так горд этим результатом, что назвал его theorema egregium (отличной теоремой). Отсюда следует, в частности, что на которая называется гауссовой кривизной, не влияет изгибание (без сминаемости и растягивания).

Плоскость, например, имеет поэтому, нулевую гауссову кривизну. Следовательно, любая поверхность, полученная изгибанием плоскости, такая как цилиндр, тоже. В этом случае мы можем проверить theorema egregium потому что одна из главных кривизн цилиндра явно нулевая.

О поверхностях полученных друг из друга с помощью изгибания, говорят, что они изометричны. Точнее, изометричны,

если между точками и точками есть взаимно однозначное соответствие, так что

где расстояния измеряются внутри соответствующих поверхностей. Тогда более точная формулировка theorema egregium: если изометричны, то имеют одинаковую гауссову кривизну в соответствующих точках. Обратное утверждение неверно: существуют поверхности 51, 52, которые не изометричны, даже если между ними есть взаимно однозначное (и непрерывное) соответствие, при котором гауссова кривизна одинакова в соответствующих точках. Пример дан у Штрубекера (1964, т. 3, с. 121), включая поверхности непостоянной гауссовой кривизны.

Для поверхностей постоянной гауссовой кривизны между изомет-рией и кривизной есть лучшее согласие, как мы увидим в следующем разделе. С этого момента, если не задано иное, «кривизна» будет означать гауссову кривизну.