20.134. Свойства «сложения» и «умножения»
В 1830-е гг. Гамильтон и его коллеги Пикок, Де Морган и Джон Грейвс занимались идеей расширения понятия числа. Существующее понятие числа уже было результатом ряда расширений — от натуральных и рациональных чисел до действительных и комплексных чисел, — и Пикок заметил, что здесь содержался некоторый принцип постоянства. Молчаливо сходились во мнении, что некоторые свойства сложения и умножения следует продолжить, чтобы расширение понятия числа было приемлемым.
«Постоянные» свойства в то время были не вполне ясны, но бблыная их часть вылилась в определение поля, данное Дедекиндом (1871). У этого понятия был независимый источник, также около 1830 года, в работе Галуа о теории уравнений. Поэтому ради удобства мы начнем с определения поля, и затем объясним его роль в поисках арифметических n-кратных Гамильтоном.
Поле — это множество объектов, на которых определены операции + и — с некоторыми свойствами или «законами». Для того, чтобы сформулировать кратко эти свойства, мы также используем операцию 
Заметьте, что — интерпретируется так оператор, который превращает натуральное число а в отрицательную или аддитивную обратную величину —а. Отрицание отрицания определяется так, что всегда 
и считается, что разность 
будет а 
Тогда свойства + и — следующие:
Имеется похожий набор свойств, описывающий поведение х.
и правило для взаимодействия 
Свойства пока определяют то, что называется коммутативным кольцом с единицей, типичный пример которого — множество Z целых чисел.
Определяющие свойства поля — свойства, приведенные выше, наряду с существованием мультипликативной инверсии 
которая определяется для каждого а 
и удовлетворяет
Типичные примеры полей — системы рациональных чисел 
действительных чисел 
и комплексных чисел С.
Пытаясь узнать за пределами этих систем, Гамильтон руководствовался еще одним свойством, которое у всех у них было общим: существованием мультипликативного абсолютного значения, функции с действительными значениями 11, имеющей свойства
Как мы видели в разделе 20.2, мультипликативное абсолютное значение для комплексных чисел, по существу, было открыто Диофантом, задолго до открытия самих комплексных чисел. Гамильтон не подозревал об этом, потому что он не изучал теорию чисел, и он находился в блаженном неведении относительно того, что должна была сообщить теория чисел о мультипликативном абсолютном значении для троек. Последующая история гиперкомплексных чисел могла бы быть совершенно иной, если бы он знал с чем он имеет дело.
