3.18. Методы хорд и касательных
В разделе 1.3 мы использовали метод Диофанта, чтобы найти все рациональные точки на круге. Если 
любое квадратное
уравнение в 
с рациональными коэффициентами, и если уравнение имеет одно рациональное решение 
тогда мы можем найти любое рациональное решение, проведя рациональную прямую 
с через точку 
и найдя другое ее пересечение с кривой 
Оба пересечения с кривой, скажем, 
заданы корнями 
уравнения
Это означает, что 
и поскольку все коэффициенты с левой стороны рациональны, и 
рационально, тогда 
также должны быть рациональными. Значение у, когда 
рационально, поскольку таковы 
следовательно, 
еще одна рациональная точка на р(х, у) 
Обратно, любая прямая через две рациональные точки — рациональна, и отсюда все рациональные точки находят этим способом.
Теперь, если р(х, у) 
кривая 3-й степени, ее пересечения с прямой 
заданы корнями кубического уравнения 
Если мы знаем две рациональные точки на кривой, тогда прямая через них будет рациональной, и ее третье пересечение с кривой также будет рационально, согласно аргументу, подобному предыдущему. Этот факт становится более полезен, когда осознаешь, что можно принять: две известные рациональные точки совпадают; в таком случае прямая — касательная через известную рациональную точку. Таким образом, из одного рационального решения мы можем создать еще одно построением касательной, а из двух мы можем построить третье, проведя хорду между этими двумя.
Диофант нашел рациональные решения кубических уравнений способом, который представляется, по существу, этим самым способом. Сохранившиеся работы Диофанта сообщают о его методах немного, но правдоподобная реконструкция — алгебраический вариант построений касательных и хорд — дана Башмаковой (1981). Вероятно, первым, кто понял методы Диофанта, был Ферма в семнадцатом веке, а первым, кто дал объяснение методу касательных и хорд, был Ньютон (1670-е гг.).
В противоположность квадратному случаю, у нас нет выбора в наклоне кривой для кубических уравнений. Тагам образом, отнюдь не очевидно, что этот метод даст нам все рациональные точки на кубической кривой. Замечательная теорема, угаданная Пуанкаре (1901) и доказанная Морделлом (1922), говорит, что можно генерировать все рациональные точки построением касательных и хорд применительно к конечному множеству точек. Однако, все еще неизвестно, есть ли
