5.28. Уравнение Пелля у Брахмагупты
Что касается диофантовых уравнений, индийские и китайские математики очень похожи. Действительно, сходство еще значительнее, чем предполагалось до сих пор, потому что китайские задачи об остатках также изучались в Индии. Это предполагает возможный контакт и разделение идей. С другой стороны, обе математические культуры расходились в других отношениях. Китайцы развивали алгебру и методы аппроксимации для уравнений высокой степени, но не решения в целых числах нелинейных уравнений (за исключением уравнения Пифагора). Индийцы сделали меньший прогресс в алгебре, но добились поразительного успеха в отыскании решений в целых числах уравнений Пелля — первый значительный успех в теории чисел со времен Диофанта.
Автором этого успеха был Брахмагупта, Brahma-sphuta-siddhanta которого (628 г. н. э.) можно прочитать в английском переводе Коулбрука (1817). Трактовка Брахмагупты уравнения Пелля
основана на его открытии [см. Колубрук (1817), с. 363], что
которое является обобщением тождества, открытого Диофантом
к которому мы вернемся позже в связи с комплексными числами. Как тождество Диофанта, тождество Брахмагупты легко проверяется умножением обеих частей, хотя на первых порах не легко обнаруживается.
Брахмагупта использовал свое тождество, чтобы найти решения
через последовательность уравнений вида
Его тождество показывает, что если
и
тогда
Это называется композицией троек 
чтобы образовать тройку 
Если 
или 
композиция — способ порождения бесконечного множества решений 
когда известно одно (если только одно из 
равно 1, составляйте композицию соответствующей тройки с собой). Еще удивительнее, часто можно найти решение 
из решений
Причина этого в том, что композиция 
с собой дает решение 
скажем 
следовательно, рациональное решение 
При небольшой удаче это решение будет целочисленным, или же даст целочисленное решение, когда композиция составляется дальше.
Пример, 
[Это первый пример Брахмагупты; он говорит, что «человек, решивший эту задачу в течение года, — математик». См. Коулбрук (1817), с.364].
Решение. Поскольку 
мы имеем тройку (10,1,8). Составление ее композиции с собой дает тройку
которая означает
Деление обеих частей на 
дает
и, следовательно, новую «почти целочисленную» тройку 
Составление композиции (
с собой, наконец, дает целочисленную тройку
Таким образом, 
решение в целых числах 
Упражнения
(см. скан)
