16.105. Конформное отображение

Еще одна важная общая ситуация, в которую внесли ясность комплексные функции, задача конформного отображения. Отображение сферы (поверхности Земли) на плоскость — это практическая задача, которая привлекала внимание математиков со времен античности. До восемнадцатого века большинство заметных математических вкладов в отображение составляли стереографические проекции (раздел 15.2), благодаря Птолемею около 150 н. э. и проекции Меркатора, примененной Меркатором в 1569 году [речь о Герарде Меркаторе, а не Николаусе, который открыл ряд для Обе эти проекции были конформными, то есть, сохраняющими углы, или что математики восемнадцатого века предпочитали называть «подобное в малом». Это означает, что образ любой области стремится к точному масштабному отображению по мере того, как величина стремится к 0. Поскольку «подобие в большом», несомненно, невозможно, например, большой круг нельзя отобразить на замкнутую кривую, которая разделяет плоскость на две равные части, конформность — это лучшее,

что можно сделать, чтобы сохранить внешний вид областей на сфере. Сохранение углов в проекции Меркатора было преднамеренным, цель которого заключалась в том, чтобы помочь навигации, и в случае стереографической проекции конформность впервые была замечена Гарриотом около 1590 года [см. Лоне (1979)].

Успехи в теории конформного отображения были сделаны Ламбертом (1772), Эйлером (1777) (сфера на плоскости) и Лагранжем (1779) (общая поверхность вращения на плоскости). Все эти авторы использовали комплексные числа, но представление Лагранжа самое ясное и общее. Используя метод Даламбера (1752), он объединил пару дифференциальных уравнений в двух действительных переменных в единое уравнение в одной комплексной переменной и пришел к результату, что любые два конформных отображения поверхности вращения на -плоскость связаны через комплексную функцию отображающую плоскость на себя. Эти результаты увенчались результатом Гаусса (1822), обобщившим теорему Лагранжа до конформных отображений произвольной поверхности на плоскость.

Обратно, комплексная функция определяет отображение плоскости на себя, и легко увидеть, что это отображение — конформное. Действительно, это следствие дифференцируемости Сказать, что предел

существует, значит сказать, что отображение диска вокруг на область вокруг стремится к масштабному отображению по мере того, как радиус стремится к 0. Если производная выражена в полярной форме, как

тогда масштабный множитель этого предельного отображения, и а — угол вращения. Риман (1851), по-видимому, первый принял свойство конформного отображения в качестве основы теории комплексных функций. Его самым глубоким результатом в этом направлении была теорема отображения Римана, которая утверждает, что любую область плоскости, ограниченную простой замкнутой кривой, можно отобразить на единичный диск конформно, и, следовательно, при помощи комплексной функции. Доказательство этой теоремы у Римана (1851) зависит от свойств потенциальных функций, которые Риман частично обосновал, обратившись к физической интуиции, так

называемому принципу Дирихле. Такое рассуждение шло вразрез с растущей тенденцией к строгому анализу в девятнадцатом веке, и более строгие доказательства были даны Шварцем (1870) и Нейманом (1870). Однако вера Римана в физические корни теории комплексной функции, в конечном итоге, подтвердилась, когда Гильберт (1900b) поставил принцип Дирихле на твердую основу.

Упражнения

(см. скан)