1.2. Пифагоровы тройки
Пифагор жил около 500 г. до н. э. (см. раздел 1.7), но история теоремы Пифагора начинается задолго до этого, по крайней мере, еще в 1800 г. до н. э. в Вавилоне. Свидетельством является глиняная дощечка, известная так Табличка 322, на которой систематически перечисляется большое количество пар целых чисел 
для которых имеется целое число 
удовлетворяющее
Перевод этой таблички, наряду с ее интерпретацией и историческим фоном, впервые опубликован Нейгебауером и Заксом (1945) [более поздние обсуждения см. Ван дер Варден (1983), с. 2]. Тройки целых чисел 
удовлетворяющие (1), — например, (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), — теперь известны как пифагоровы тройки. Предположительно, древние вавилоняне интересовались ими вследствие их интерпретации как сторон прямоугольного треугольника, хотя наверняка это неизвестно. Во всяком случае, задача отыскания пифагоровых троек считалась интересной в других древних цивилизациях, о которых известно, что они владели теоремой Пифагора; ван дер Варден (1983) приводит примеры из Китая (между 200 г. до н. э. и 220 г. н. э.) и Индии (между 500 и 200 гг. до н. э.). Наиболее полного понимания задачи в древности добились в греческой математике, от Евклида (около 300 г. до н. э.) до Диофанта (около 250 г. н. э.).
Сейчас мы знаем, что общая формула получения пифагоровых троек следующая
Легко увидеть, что 
когда 
заданы этими формулами, и, конечно, 
будут целыми, если 
целые числа. Даже если вавилоняне не имели преимущества нашего алгебраического обозначения, вероятно, что эта формула, или частный случай
(который дает все решения 
без общего делителя), была основой для троек, список которых они составили. Менее общие формулы приписываются самому Пифагору (около 500 г. до н. э.) и Платону [см. Хит (1921), 
стр. 80-81]; решение, эквивалентное общей формуле, дано в Началах Евклида, Книга X (лемма, вытекающая из Теоремы 28). Насколько нам известно, это — первая формулировка общего решения и первое доказательство того, что оно общее. Доказательство Евклида, по существу, арифметическое, как, наверное, и ожидаешь, поскольку задача, по-видимому, принадлежит к арифметическим.
Однако, существует более поразительное решение, которое использует геометрическую интерпретацию пифагоровых троек. Оно появляется в труде Диофанта, и описано в следующей главе.
Упражнения
(см. скан)
