16.109. Униформизация
Характеристика несингулярных кубических кривых, которая допускает их параметризацию эллиптическими функциями, — это их топологическая форма. Оба периода соответствуют обоим по существу различным контурам вокруг тора (рисунок 16.1).
Представление значений 
на кривой одновременными функциями единственного параметра 
иногда называется равномерным представлением, и поэтому задача параметризации всех алгебраических кривых таким образом получила известность как задача униформизации. Как только был понят эллиптический случай, стало ясно, что решение задачи униформизации для произвольных алгебраических кривых будет зависеть от лучшего понимания поверхностей: их топологии, периодичностей, связанных с их замкнутыми кривыми, и способа, которым эти периодичности можно отразить в С. К решению этих задач первыми приступили Пуанкаре и Клейн в 1880-х 
и их труд привел к окончательному положительному решению задачи униформизации Пуанкаре (1907) и Кебе (1907).
Однако еще более важной, чем решение этой единой задачи, была удивительная сходимость идей в предварительной работе Пуанкаре и Клейна. Они открыли, что кратные периодичности отражались в С группами преобразований, и, что рассматриваемые преобразования были простого типа 
который называется дробно-линейным. Дробно-линейные преобразования обобщают линейные преобразования 
естественным образом связанные с периодами эллиптических функций. Однако, хотя преобразования 
алгебраически и геометрически прозрачны, — они коммутируют, и они порождают общие преобразования 
которые просто являются переносами плоскости, — более общие дробно-линейные преобразования понять не так легко. Дробно-линейные преобразования обычно не коммутируют, и овладение ими требует осознания алгебраических, геометрических и топологических аспектов.
Оказалось, что одновременное представление чрезвычайно плодотворно в развитии теории групп и топологии, как мы увидим в главах 19 и 22. Геометрии также придали новое дыхание, когда Пуанкаре (1882) открыл, что дробно-линейные преобразования дают естественную интерпретацию неевклидовой геометрии, области, которая до тех пор была диковинкой на окраинах математики. В следующих двух главах
мы посмотрим на истоки неевклидовой геометрии и увидим, как с помощью открытия Пуанкаре преобразился предмет
Упражнения
(см. скан)
