20.138. Почему C, H и O особенные
Ранее установленная гармония между тождествами двух квадратов, четырех квадратов и восьми квадратов и нормами на 
и 
предполагает, что 
и О не просто случайные странности, но действительно весьма особые структуры. Фактически, они уникальны. Если мы определяем, что система гиперкомплексных чисел состоит из 
-кратных действительных чисел 
со сложением векторов, дистрибутивным умножением и мультипликативным абсолютным значением, то
• С — единственная система гиперкомплексных чисел, для которой умножение коммутативно и ассоциативно. Это доказано Вейерштрассом (1884).
• Н - другая единственная система гиперкомлексных чисел, для которой умножение ассоциативно. Это доказано Фробениусом (1878).
• О — другая единственная система гиперкомплексных чисел. Это доказано Гуревичем (1898). (В процессе этого, Гуревич доказал, что n-квадратных тождеств, кроме как для 
нет.)
С этого времени установлено, что 
и О имеют связи со многими другими «исключительными» структурами в математике. Одна из самых замечательных — их связь с проективной геометрией через теоремы Паппа и Дезарга.
Теорема Паппа — это теорема классической геометрии, которая относится к проективной геометрии, по-видимому, случайно. Как указывалось в упражнениях к разделу 8.7, в ней утверждается, что, если вершины шестиугольника ABCDEF лежат попеременно на двух прямых линиях, то пересечения противоположных сторон шестиугольника лежат на одной линии (рисунок 20.2). Рисунок 20.2: Теорема Паппа
Эта теорема имеет смысл в проективной геометрии, потому что она включает лишь точки и линии, и пересекаются ли они или нет, тем не менее, ее доказательство содержит понятие расстояния. Теорема Дезарга в плоскости тоже похожа на нее, как говорилось в разделе 8.3; это проективная теорема без проективного доказательства, и это озадачивает еще больше, потому что теорема Дезарга в пространстве имеет проективное доказательство.
Удивительное объяснение этих явлений было раскрыто в работе фон Штаудта (1847) и Гильберта (1899). В 1847 году фон Штаудт дал геометрические построения знаков 
допуская, что каждая проективная плоскость должна быть «координатизирована» гиперкомплексными числами. Затем в 1899 году Гильберт сделал удивительное открытие, что геометрия проективной плоскости связана с алгеброй соответствующей системы гиперкомплексных чисел:
• Выполняется теорема Паппа 
система коммутативна.
• Выполняется теорема Дезарга 
система ассоциативна.
Обратно, любая система гиперкомплексных чисел 
дает проективную плоскость 
при помощи построения однородных координат, по существу, как в разделе 8.5. Тогда по теореме Гильберта
• 
удовлетворяют Паппа,
• 
удовлетворяет Дезарга, но не Паппа, и
• 
не удовлетворяет ни то, ни другое.
Результаты Гильберта объясняют, почему теоремы Паппа и Дезарга не имеют проективных доказательств. Это происходит потому, что эти теоремы не выполняются для всех проективных плоскостей, только для плоскостей с достаточной алгебраической структурой. Это замечательный вклад алгебры в геометрию, но он также позволяет проникнуть в противоположном направлении. Можно серьезно сказать, что теорема Паппа «объясняет», почему 
имеют коммутативное умножение, потому что проще (принятие меньшего количества аксиом) описать проективную плоскость, удовлетворяющую теореме Паппа, чем описать поле. Это, возможно, самый замечательный аспект труда Гильберта об основах геометрии. Он показывает, что долгая историческая тенденция превратить геометрию в алгебру, которая началась с Ферма и Декарта, вероятно, может подойти к концу.
Упражнения
(см. скан)
