12.81. Общие теоремы сложения

Формула удвоения Фагнано оставалась малоизвестной редкостью, пока 23 декабря 1751 года Эйлер не получил экземпляр трудов Фагнано; эту дату Якоби позже охарактеризовал как «день рождения эллиптических функций». Эйлер первым увидел, что прием с подстановкой Фагнано был не просто любопытной счастливой случайностью, а открытием поведения эллиптических интегралов. При помощи своего превосходного умения манипулировать, Эйлер быстро сумел распространить его на весьма общие теоремы сложения. Сначала на теорему сложения для лемнискатного интеграла

затем на где произвольный многочлен 4-й степени. Остроумная реконструкция хода мыслей Эйлера, по аналогии с теоремой сложения арксинуса

дана Зигелем (1969), стр. 1-10. Блестящий, как и его результаты, Эйлер рассматривал только эллиптические интегралы, не эллиптические функции, им обратные, поэтому можно было все еще уклоняться от сути оценки Якоби. Но следует помнить, что Якоби мог видеть эллиптическую функцию за милю, вероятно, легче, чем мы можем увидеть, что теорема сложения арксинуса действительно теорема о синусах!

Следует отметить, что теоремы сложения Эйлера не охватывают всех эллиптических интегралов. Общая форма однако, приводит как раз к трем видам, из которых эйлеров — первый и самый важный. Классическая теория эллиптических интегралов различных видов, с их различными теоремами сложения и преобразования, была систематизирована Лежандром (1825). Нелепо, но это было как раз перед появлением эллиптических функций, которые сделали многое в работе Лежандра устаревшим.

Эти ранние исследования разрабатывали некоторые формальные подобия между где многочлен 4-й степени, и где квадратный многочлен. Реальной разницы, если имеет 3-ю степень, нет, как показывает естественное преобразование (упражнение 12.5.1). Вот почему также называется эллиптическим интегралом, когда -й степени. Действительно, в конечном счете, оказалось, что самый удобный интеграл для использования в качестве основы теории эллиптических функций — обратная функция которого известна как функция Вейерштрасса

Теорема сложения для этого интеграла имеет вид

где ничто иное как -координата третьей точки на

прямой линии, проходящей через (см. раздел 11.6). Теперь, когда из раздела 12.2 мы знаем, что эта кривая параметризуется

определенных обращением интеграла, понятна некоторая связь между геометрией кривой и теоремой сложения. Но ошеломляющая простота соотношения, по-видимому, требует более глубокого объяснения. Оно лежит в царстве комплексных чисел, в которое мы ненадолго войдем в следующем разделе и более основательно в разделах 16.4 и 16.5.

Упражнения

(см. скан)