13.87. Механические кривые

Когда Декарт выдвигал доводы в пользу ограничения La Geometrie алгебраическими кривыми (которые он назвал «геометрическими», см. раздел 7.3), он явно исключил некоторые классические кривые на довольно неопределенных основаниях, так как они принадлежат только механике, и не находятся среди тех кривых, которые, как я думаю, должны быть включены сюда, поскольку они должны пониматься, как описанные двумя отдельными движениями, отношение которых не допускает точного определения.

[Декарт (1637), с. 44]

Кривые, которые Декарт передал «механике», — это кривые, которые греки определяли с помощью некоторых гипотетических механизмов, например, эпициклов (описанными вращением одного круга на другом) и спирали Архимеда (описанной точкой, движущейся с постоянной скоростью вдоль равномерно вращающейся линии). Вероятно, он осознавал, что спираль трансцендентна в силу того, что она пересевает прямую линию в бесконечном множестве точек. Это обратно поведению алгебраической кривой р(х,у) которая пересевает прямую линию с только в конечном множестве точек, соответствующем конечному множеству решений Это довазательство существования трансцендентных кривых было дано в явном виде Ньютоном (1987), лемма XXVIII.

Мы не знаем, отличал ли Деварт, сважем, алгебраические эпициклы от трансцендентных; тем не менее, в общих чертах верно, что его «механические» кривые были трансцендентными. Это осталось верным с широким распространением механики и исчисления в семнадцатом веке, и, несомненно, большая часть новых трансцендентных кривых

берет начало в механике. В этом разделе мы познакомимся с тремя самыми важными из них: цепной линией, циклоидой и изгибом упругих стержней.

Цепная линия — это вид подвесной нити, которая, по предположению, совершенно гибкая, и ее масса равномерно распределена вдоль ее длины. На практике гибкость и равномерность массы лучше представить себе с помощью подвесной цепи, отсюда название цепная линия, которое происходит от латинского слова catena, означающего цепь. Гук (1675) заметил, что та же самая кривая встречается как вид изгиба бесконечно малых камней. Цепная линия очень сильно похожа на параболу, и вначале Галилей предположил, что она является таковой. Ошибочность этого доказал 17-летний Гюйгенс (1646), хотя в то же время он не смог определить правильную кривую. Он, однако, показал, что вид параболы принимала гибкая нить, нагруженная весами, которые равномерно распределялись в горизонтальном направлении (как приблизительно в случае для троса висячего моста).

Задача о цепной линии была, наконец, решена независимо Иоганном Бернулли (1691), Гюйгенсом (1691) и Лейбницем (1691) в ответ на вызов Якоба Бернулли в 1690 году. Иоганн Бернулли показал, что кривая удовлетворяла дифференциальному уравнению

где постоянная и длина дуги (рисунок 13.2). Он вывел это уравнение, заменив часть цепи, которая удерживается в равновесии касательной силой в и горизонтальной силой которая независима от на материальную точку равную весу (следовательно, пропорциональную удерживаемую в равновесии теми же силами. Сравнение направлений и величин сил дает

С помощью остроумных преобразований Бернулли привел уравнение к виду

другими словами, к интегралу. Это решение было настолько простым, насколько могло быть сформулировано в то время, поскольку

трансцендентная функция у и, следовательно, может быть выражена, наилучшим образом, так интеграл. Сегодня, конечно, мы осознаем функцию как одну из «стандартных» и сокращаем решение как

Рисунок 13.2: Цепная линия

Циклоида — это кривая, порожденная точкой на окружности круга, вращающегося на прямой линии. Несмотря на то, что она является естественным предельным случаем в эпициклической семье, циклоиду, по-видимому, не исследовали до семнадцатого века, когда она стала любимой кривой математиков. Она имеет много прекрасных геометрических свойств, и еще больше замечательных механических свойств. Первое из них, открытое Гюйгенсом (1659b) состоит в том, что циклоида — это таутохрона (кривая равного удаления по времени). Частице, вынужденной скользить вдоль перевернутой циклоиды, требуется столько же времени, чтобы спуститься в самую нижнюю точку, независимо от исходной точки.

Гюйгенс (1673) создал классическое применение этого свойства к часам маятника, используя геометрическое свойство циклоиды (Гюйгенс, 1659с). Если маятник, при этом полагается, что он невесомая нить с материальной точкой в конце, вынужден тачаться между двумя циклоидальными «щетами>, так назвал их Гюйгенс (рисунок 13.3), то материальная точка будет перемещаться вдоль циклоиды. Следовательно, период циклоидального маятника независим от амплитуды. Это делает его теоретически лучше обыкновенного маятника, период которого, несмотря на то, что приблизительно постоянен для малых амплитуд, фактически включает эллиптическую функцию. На практике, проблемы, такие так трение, делают циклоидальный маятник не более точным, чем обыкновенный маятник, но его теоретическое превосходство на некоторое время исключило обыкновенный маятник из механики. В Principia Ньютона, например, часто упоминается циклоидальный маятник, но никогда простой маятник.

Рисунок 13.3: Циклоидальный маятник

Второе замечательное свойство циклоиды заключается в том, что она является брахистохроной, кривой кратчайшего времени. Иоганн Бернулли (1696) поставил задачу отыскания кривой между заданными точками вдоль которой точечная масса спускается за кратчайшее время. Он уже знал, что решением была циклоида, и решения были найдены независимо Якобом Бернулли (1697), Лопиталем (1697),

Лейбницем (1697) и Ньютоном (1697). Эта задача глубже, чем задача о таутохроне, потому что циклоиду следовало выделить из всех возможных кривых между Решение Якоба Бернулли было самым глубоким, потому что оно признавало аспект задачи о переменной кривой, и сейчас оно считается важным шагом в развитии вариационного исчисления.

Изгиб упругих стержней — еще одно из открытий Якоба Бернулли, и также важно в развитии еще одной области, теории эллиптических функций. Изгиб упругих стержней — это кривая, форму которой принимает тонкий упругий стержень, сжатый на концах. Якоб Бернулли (1694) показал, что кривая удовлетворяла дифференциальному уравнению, которое он привел к виду

Для того, чтобы интерпретировать этот интеграл геометрически, он ввел лемнискату и показал, что длина ее дуги выражается точно таким же интегралом. Это было началом исследований лемнискатного интеграла, которые включали важные открытия Фагнано и Гаусса, о которых говорилось в предыдущей главе. Исследовать эллиптические интегралы Эйлера также побудил изгиб упругих стержней. Эйлер (1743) дал картины изгибов упругих стержней, которые показывают, что они имеют периодические формы (рисунок 13.4). Именно эти рисунки впервые показали реальный период эллиптических функций, хотя, конечно, в первом эллиптическом интеграле периодичность была неявной, длиной дуги эллипса (реальным периодом является окружность эллипса).

Рисунок 13.4: Формы изгиба упругих стержней

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)