Глава 15. Комплексные числа и кривые

15.99. Корни и пересечения

Между пересечениями алгебраических кривых и корнями полиномиальных уравнений имеется тесная связь, восходящая еще к построению Менехма (корень уравнения посредством пересечения параболы и гиперболы (раздел 2.4). Самая прямая связь, конечно, встречается в случае полиномиальной кривой

пересечения которой с осью как раз действительные корни уравнения

Если (2) имеет к действительных корней, то кривая (1) имеет к пересечений с осью Здесь мы должны подсчитать пересечения тем же способом, каким мы подсчитываем корни, в соответствии с кратностью. Корень имеет кратность если множитель встречается раз в и корень тогда считается раз.

Этот способ подсчета также геометрически естественней, потому что, если, например, кривая пересекает ось кратностью 2 в 0, тогда линия «близкая» к оси, пересекает кривую дважды, один раз вблизи пересечения с осью, и еще раз именно там. Пересечение (рисунок 15.1) можно считать, поэтому, двумя точками совпадения, к которым стремятся различные пересечения с по мере того, как Таким же образом, пересечение кратности 3 можно объяснить как предел трех различных пересечений, например, (рисунок 15.2).

Рисунок 15.1: Пересечение кратности 2

Рисунок 15.2: Пересечение кратности 3

На первый взгляд кажется, что эта идея не выдерживается с кратностью 4, поскольку сих пересекает только в двух точках, Объяснение заключается в том, что в этом случае также имеются два комплексных корня умножить на два комплексных кубических корня 1), следовательно, мы не можем пренебречь комплексными корнями, если мы хотим получить геометрически «правильное» количество пересечений.

Основная теорема алгебры (раздел 14.6) дает нам корней уравнения степени (2) и, следовательно, пересечений полиномиальной кривой (1) с осью Однако, чтобы получить корней, мы вынуждены признать комплексные значения х, следовательно, мы вынуждены рассмотреть «кривые», для которых комплексные, чтобы получить пересечений. Это, и другие значительные следствия основной теоремы алгебры (например, интерпретация кратности «точки совпадения», см. упражнение 15.1.1) убедили математиков восемнадцатого века признать комплексные числа в теории кривых прежде, чем были поняты сами комплексные числа, и даже прежде, чем была доказана основная теорема алгебры.

Самое элегантное следствие теоремы Безу заключается в том, что кривая степени пересекает кривую Сстепени точках. Как мы видели в разделе 8.6, если, чтобы учесть точки в бесконечности, используются однородные координаты, тогда пересечения соответствуют решениям уравнения которое является однородным степени Теперь мы можем использовать основную теорему алгебры, чтобы показать, что — произведение линейных множителей следующее:

по основной теореме, поскольку многочлен степени в единственной переменной Но тогда

поскольку каждый множитель у впереди (если таковой имеется) тривиально имеет вид

Отсюда следует, что уравнение имеет решений, и, следовательно, имеется пересечений считающих кратности.

Упражнения

(см. скан)