20.135. Арифметические тройки и четверки

Диофантова Арифметика содержит многие результаты о суммах двух квадратов. Это естественно, благодаря долгой истории пифагоровых троек и собственному вкладу Диофанта в предмет, показавшего, что суммы двух квадратов можно «перемножать». В ней также есть несколько результатов о суммах четырех квадратов, которые привели Баше де Мезириака (1621) к предположению, что всякое положительное число есть сумма четырех квадратов, и окончательному доказательству этого предположения Лагранжем (1770). Однако Диофант

совсем немного говорит о суммах трех квадратов, и для него, вероятно, было очевидным, что суммы трех квадратов нельзя перемножать.

Например, как так и суммы трех квадратов, но их произведение, 15, нет. Отсюда следует, что не может быть быть тождества вида

где комбинации с целыми коэффициентами. Это, в свою очередь, означает, что не может быть произведения троек

с мультипликативным абсолютным значением, по крайней мере, если , такие комбинации

В одной из самых необычайных оплошностей в истории математики Гамильтону не удалось заметить этот или какой-нибудь другой факт, и он настойчиво продолжал поиск произведения троек в течение, по крайней мере, 13 лет (с 1830 по 1843 год). Большую часть этого времени он надеялся достичь всех свойств поля, перечисленных выше, наряду с мультипликативным абсолютным значением.

Следуя образцу комплексных чисел, он записал тройку так сведя таким образом проблему мультипликации к определению произведений Он хотел поэтому оставалось только найти действительные коэффициенты , так что Но ничего не работало. В частности, казалось невозможным примирить дистрибутивный закон с коммутативным законом для умножения. В 1843 году он кратко рассмотрел построение (которое нарушило бы мультипликативное абсолютное значение), но затем создал то, что казалось мне менее строгим предположением, а именно, предположение..., что

значение произведения к при этом по-прежнему остается неопределенным... Это привело меня к пониманию, что, возможно, вместо того, чтобы придерживаться поиска троек, таких так а или нам следует рассмотреть их только так несовершенные формы кватернионов, таких как а или символ к при этом является каким-то новым видом единичного оператора.

[Гамильтон (1853), стр. 143-144]

Поэтому Гамильтон отказался от коммутативного умножения, но все остальное встало на место. Вот так он позже описал это, в письме к сыну:

Но шестнадцатого числа месяца [а именно, октября 1843 года], которое пришлось на понедельник и совещательный день Королевской Ирландской академии — я пошел пешком по Ройал-Кэнел, чтобы занять председательское место, и вместе со мной шла твоя мать,..., и хотя иногда она говорила со мной, все же в моей голове шевелилась смутная мысль, которая, наконец, дала результат... Электрический ток, по-видимому, замкнулся, и произошла вспышка, вестник (так я сразу предвидел) многих долгих лет направленной мысли и работы в будущем... Я сразу достал записную книжку, которая по-прежнему существует, и тотчас же сделал запись. Я не мог устоять перед желанием — может быть, оно был нефилософским, — вырезать ножом на камне Бругэм Бридж основную формулу с символами

которая содержит решение Задачи, но, конечно, эта надпись уже давно после того стерлась.

[Гамильтон (1865)]

Записная книжка содержит не только значения которые следуют из основной формулы, но также четыре составляющих общего произведения кватернионов:

Как все его предыдущие попытки, отправной точкой Гамильтона для его основной формулы была мультипликативность абсолютного значения, или так он выразился: «модуль произведения равен произведению модулей множителей». Это обобщает мультипликативность

абсолютного значения для комплексных чисел и показывает, что произведение двух ненулевых кватернионов — ненулевое.

Квадрат абсолютного значения кватерниона а есть поэтому формула произведения для кватернионов дает следующее тождество, которое показывает, что произведение сумм четырех квадратов — это сумма четырех квадратов:

Если бы Гамильтон изучал теорию чисел, он бы это знал, потому что тождество было открыто Эйлером (1748с) и использовалось Эйлером и Лагранжем в доказательстве, что всякое натуральное число — сумма четырех квадратов.

Гамильтон сначала думал, что его тождество четырех квадратов было оригинальным, но в месяцы, последовавшие за открытием кватернионов, он и его друг Джон Грейвс подхватили новости о трех и четырех квадратах. Для Грейвса стало ясным, что им никогда не следует ожидать тождества трех квадратов, потому что суммы трех квадратов, но их произведение — нет. Затем он справился в литературе и

В прошлую пятницу я заглянул в Theorie des Nombres (Теорию чисел) Лагранжа [он имел в виду Лежандра] и впервые обнаружил, что в последнее время я шел по следу моих предшественников. Например, метод, который меня удовлетворил, что общая теорема

была невозможна, именно тот метод, о котором упоминает Лежандр, давая тот же пример, что пришел на ум мне, а именно, невозможно составить 63 из трех квадратов. Затем я узнал, что теорема

была теоремой Эйлера.

[Грейвс (1844), письмо к Гамильтону]

Соблазнительно думать, что Гамильтон мог бы открыть кватернионы гораздо легче, если бы он знал о существовании тождества для сумм четырех квадратов и его отсутствии для сумм трех квадратов. Но процесс математического открытия редко такой гладкий. Возможно, безнадежная борьба с тройками была хороша для него, потому что он не хотел, чтобы она была напрасной, или же, может быть, он не желал оставить коммутативное умножение.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)