Глава 19. Теория групп
19.125. Понятие группы
Понятие группы — одна из самых важных объединяющих идей в математике. Она собирает воедино широкий круг математических структур, для которых существует понятие комбинации или «произведения». Такие произведения включают обыкновенное арифметическое произведение чисел, но более типичный пример, — произведение или композиция функций. Если 
функции, то 
функции, значение аргумента х которых — 
[Причина написания 
как 
заключается в том, что ее значение — «примени 
затем 
Мы вынуждены обратить внимание на порядок, потому что, вообще, 
Формально определяется, что группа 
множество с операцией, которая называется произведением и обозначается записью рядом, особым элементом, который называется единичным и записывается 1, и, для каждой 
элементом, который называется обратным 
и записывается 
со следующими свойствами:
Эти аксиомы развивались на протяжении более ста лет работы с особыми группами, в течение которого их основные свойства выяснялись лишь постепенно. Мы взглянем на некоторые группы, которые сыграли важную роль в этом процессе в других разделах этой главы. На практике, свойства 1) и 2), как правило, очевидны, и важнее гарантировать, что операция произведения действительно определена для всех элементов 
В ответ на это желание были созданы многие математические понятия, сначала неосознанно, ради существования произведений.
Например, в разделе 8.2 мы видели, что перспективный вид перспективного вида, вообще, не является перспективным видом. Поэтому, если мы примем, что «произведение» перспективного преобразования 
и перспективного преобразования 
является результатом выполнения 
затем 
то 
не всегда принадлежит множеству перспективных преобразований. Множество проективных преобразований — простейшее возможное расширение множества перспективных преобразований до множества, на котором произведение всегда определено, а именно, множество конечных произведений перспективных преобразований.
В других случаях, понятия появились в результате желания иметь обратные величины. Отрицательные числа, например, можно рассматривать как результат расширения множества 
до множества, в котором каждый элемент имеет обратную величину в процессе операции 
Еще один пример — расширение плоскости точками в бесконечности, которое гарантирует, что каждое проективное преобразование имеет обратное, потому что оно дает возможность точкам, которые проектируются в бесконечность, снова быть спроектированными обратно.
Возможно, самое раннее нетривиальное использование обращения встречается в операции «умножения по модулю 
которую Эйлер (1758) (и, может быть, Ферма до него) использовали, чтобы дать, по существу, теоретико-групповое доказате 
ьств о малой теоремы Ферма. Напомним из раздела 5.1, что целые тип называются конгруэнтными по модулю 
если они отличаются по целому кратному 
и из раздела 5.2, что 
обратная величина а относительно умножения 
если 
конгруэнтно 1 по модулю 
то есть, если 
для некоторого целого k. Если 
простое число, и а — не кратное 
то такое 
существует по применению евклидова алгоритма к взаимно простым числам 
(разделы 3.3 и 5.2). Эйлер в своем доказательстве не определил группу, но нам легко это сделать (и, соответственно, иначе выразить его доказательство; см. упражнения). Элементы группы — ненулевые классы вычетов 
с произведением, определенным
где 
обычное арифметическое произведение. Групповые свойства 1) и 2) следуют из обычной арифметики; 3), как мы видели, следует из евклидова алгоритма.
Предыдущие примеры иллюстрируют влияние геометрии и теории чисел на понятие группы. Еще более решающее влияние оказала теория уравнений, на которую мы кратко взглянем в следующем разделе. Более подробное описание развития понятия группы можно найти у Вуссинга (1984).
Упражнения
(см. скан)
