17.116. Теорема Гаусса-Бонне
В разделе 17.2 мы заметили, что
для простой замкнутой кривой в плоскости. Этот результат имеет глубокое обобщение до кривых поверхностей, которое известно как теорема Гаусса-Бонне. На кривой поверхности к должна быть заменена геодезической кривизной 
и теорема утверждает, что
где А обозначает площади, и 
область, окруженную [Бонне (1848)]. Сам Гаусс опубликовал только частный случай, или скорее предел частного случая, в котором — геодезический треугольник. В этом
случае, конечно, 
вдоль сторон 
становится бесконечной в углах. Округляя углы малыми дугами 
видно (рисунок 17.10), что
где 
внешние углы треугольника, и — округленное приближение к треугольнику 
Рисунок 17.10: Округление геодезического треугольника
Затем, допустив, что сторона округленных углов стремится к нулю, получаем
где 
внутренние углы треугольника. Введя величину
называемую угловым избытком треугольника (потому что обыкновенный треугольник имеет сумму углов 
мы имеем
и результат Гаусса (1827) заключался в том, что
Мы видим, что интеграл гауссовой кривизны имеет более элементарный геометрический смысл, чем кривизна 
Из этого ясно, что, в сущности, Гаусс сначала подумал об угловом избытке, затем об интеграле кривизны, и только в последнюю очередь о самой кривизне. Разложение на главные кривизны, вероятно, пришло позже, когда он переработал свои геометрические идеи в аналитической форме, изменив в процессе этого порядок открытия на обратный. Домбровский (1979) сделал достоверную реконструкцию первоначального подхода, используя ключи из неопубликованной работы Гаусса.
Роль углового избытка можно яснее увидеть в случае постоянной кривизны 
В этом случай
поэтому угловой избыток дает меру площади, результат, о котором Гаусс заявил в письме (1846а), стал известен в 1794 году. Фактически, частный случай этого результата для сферы был известен Томасу Гарриоту в 1603 году [см. Лоне (1979)]. Элегантное доказательство Гарриота протекает как следует ниже (см. рисунок 17.11). Рисунок 17.11: Площадь сферического треугольника Продолжение сторон треугольника 
дает разбиение сферы на четыре пары конгруэнтных, диаметрально противоположных треугольников (рисунок 17.11а). Мы обозначаем площадь 
и диаметрально ей противоположную 
за 
Три другие пары представляют площади 
которые дополняют 
в «слоях» сферы углов 
соответственно (рисунок 17.11b).
Поскольку площадь слоя 
умножить на угол, где 
радиус сферы, мы имеем
откуда, сложением
С другой стороны,
и подстановка этого в (1) дает
что и требовалось, поскольку 
кривизне сферы.
Гаусса интересовала соответствующая величина этого результата для отрицательной кривизны, в этом случае сумма углов треугольника меньше 
и мы скорее имеем угловой дефект, чем угловой избыток. Его исследования в этом случае привели его не только к гауссовой кривизне, но также к неевклидовой геометрии.
Упражнения
(см. скан)
