11.73. Рациональные прямоугольные треугольники

Площадь прямоугольного треугольника, стороны которого — рациональные числа, не может быть квадратом целого числа. Эту теорему, которая является моим собственным открытием, я, наконец, успешно доказал, правда, не без труда и упорных размышлений. Я привожу доказательство здесь, так как этот метод даст возможность сделать необычайные усовершенствования в теории чисел.

[Ферма (1670), с. 271]

Это номер 45 Наблюдений о Диофанте Ферма, отвечающий на задачу, поставленную Баше: найти прямоугольный треугольник, площадь которого равняется заданному числу. Это наблюдение важно не только для теоремы и объявленного метода, но также потому, что за ним следует единственное довольно полное доказательство, оставленное Ферма в теории чисел. В качестве добавочного вознаграждения, доказательство в неявном виде разрешает последнюю теорему Ферма для (см. упражнения), и оно является отличной иллюстрацией его «метода» бесконечного спуска, который действительно привел к выдающимся усовершенствованиям в теории чисел. В нижеследующем описании, формулировки, которые составляют доказательство Ферма (появляющиеся с отступом, так цитата, приведенная выше), расширены и выражены в современной системе обозначений, вытекающей из реконструкции Цейтена (1903), с. 163. Мы используем перевод Ферма, данный Хитом (1910), с. 293, в его версии реконструкции.

Если бы площадь прямоугольного треугольника была квадратом, то существовали бы два биквадрата, разность которых была бы квадратом целого числа. Следовательно, существовали бы два квадрата целых чисел, сумма и разность которых были бы квадратами.

Выбрав подходящую единицу длины, мы можем выразить стороны рационального прямоугольного треугольника так пифагорову тройку

взаимно простых целых чисел как отмечено в разделе 1.2. Поскольку их тоже. Поэтому, поскольку четное, и его множители должны быть нечетными. К тому же, ни одна из двоек не имеет общего простого делителя, иначе имела бы. Тогда, если площадь квадрат, ее множители также должны быть квадратами:

Поэтому сумма и разность квадратов также квадраты, поэтому

Поэтому мы должны иметь квадрат целого числа, который был бы равен сумме квадрата и удвоенной величине другого квадрата, в то время как квадраты, из которых составлена эта сумма, сами бы имели квадрат целого числа для своей суммы.

Из (1) мы имеем

И также из (1)

Но если квадрат составлен из квадрата и удвоенной величины другого квадрата, его сторона, как я могу очень легко доказать, также составлена из квадрата и удвоенной величины другого квадрата.

Поскольку из то — четное. Тогда одно из — четное и, следовательно, другое тоже. Положим

Тогда

Следуя обратно через мы видим, что любой общий делитель также был бы общим следовательно, Таким образом, взаимно простые, и, поэтому, поскольку дважды квадрат, мы имеем либо

В обоих случаях,

Из этого мы можем сделать вывод, что вышеуказанная сторона — это сумма сторон около прямого угла в прямоугольном треугольнике, и, что простой квадрат, содержащийся в сумме, — основание, а удвоенная величина другого квадрата — перпендикуляр.

Если мы допустим, что стороны прямоугольного треугольника, то гипотенуза удовлетворяет

Следовательно, и треугольник — рациональный.

Этот прямоугольный треугольник будет, поэтому, образован из двух квадратов, сумма и разность которых будет квадратами. Но можно показать, что оба эти квадрата будут меньше, чем квадраты, первоначально предполагаемые, так что как их сумма, так и их разность — квадраты.

Исходными квадратами с суммой и разностью, равными квадратам, были которые получились из перпендикулярных сторон рационального прямоугольного треугольника, площадь которого, по предположению, будет квадратом. Теперь мы имеем рациональный (несомненно интегральный прямоугольный треугольник с перпендикулярными сторонами площадь которого, также квадрат. Этот треугольник меньше, поскольку его гипотенуза меньше, чем сторона исходного треугольника, и, следовательно, он дает меньшую пару (целочисленных) квадратов сумма и разность которых — квадраты.

Таким образом, если существуют два квадрата, так что сумма, и разность обоих — квадраты, то будут также существовать два других целых квадрата, которые имеют то же свойство, но меньшую сумму. По тому же рассуждению мы находим сумму

еще меньше, чем последняя найденная, и мы можем продолжать до бесконечности, находя целые квадраты целых чисел все меньше и меньше с тем же свойством. Это, однако, невозможно, потому что не может быть бесконечного ряда чисел меньше, чем любое данное целое число, которое мы хотим.

Это противоречие означает, что исходное предположение о рациональном прямоугольном треугольнике, площадь которого квадрат целого числа, неверно. Версии Зейтена и Хита переходят к противоречию скорее, чем Ферма, отмечая, что спуск от гипотетического исходного треугольника к треугольнику с площадью можно повторить, чтобы дать бесконечную убывающую последовательность целочисленных площадей. Вейль (1984), с. 77 укорачивает доказательство еще дальше.

Логический принцип, включенный в метод спуска Ферма, конечно, тот же самый, что и принцип, на котором основана математическая индукция: любое множество натуральных чисел имеет наименьший член. Однако, обстоятельства, в которых могут применяться оба метода совершенно различны. Что касается индукции, необходима подходящая гипотеза, по которой совершается индукционный шаг; что же касается спуска, то необходима подходящая величина, по которой спускаться. На практике, спуск является гораздо более частным методом, связанным с геометрическими свойствами определенных кривых: кривые 1-го рода мы встретим в разделе 11.6 и последующих главах [см. также Вейль (1984), с. 140]. Общая задача, поставленная Баше, — принятие решения, какие числа являются площадями рациональных прямоугольных треугольников, — по существу, тесно связана с теорией кривых 1-го рода, и ее недавнее возрождение прекрасно описано Коблицем (1985).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)