9.57. Максимумы, минимумы и касательные
Идея дифференцирования сейчас считается проще, чем интегрирования, но исторически она развилась позже. Кроме построения касательной к спирали 
Архимедом, примеров характеристического предельного процесса
не появлялось до тех пор, пока он не был введен Ферма в 1629 году для многочленов 
и не стал использоваться для нахождения максимумов, минимумов и касательных. Труд Ферма, как его открытие аналитической геометрии, не публиковался до 1679 года, но он стал известен другим математикам посредством переписки после того, как был опубликован более сложный метод касательных Декарта (1637).
Вычисления Ферма включают жонглерство, которым также пользовался Ньютон и другие: введение «малого» или «бесконечно малого» элемента 
в начале, деление на 
для упрощения, затем опускание 
в конце, как будто он является нулевым. Например, чтобы найти наклон касательной к 
при любом значении х, рассмотрим хорду между точками 
и 
на ней.
и теперь мы получаем наклон касательной, пренебрегая 
Эта процедура привела в ярость философов, которые считали: утверждалось, что 
и одновременно 
Конечно, необходимо лишь утверждать, что 
но математики семнадцатого века не знали, как это сказать. В любом случае, они были слишком
увлечены силой метода, чтобы беспокоиться о такой критике (и трудно было воспринимать философов серьезно, когда они были столь упрямы, как Гоббс; см. раздел 9.2). Метод Ферма применяется ко всем многочленам 
поскольку член наивысшей степени в 
всегда сокращается членом высшей степени в 
оставляя члены, делимые на 
Ферма смог также распространить его на кривые, заданные полиномиальным уравнением 
Он сделал это в 1638 году, когда Декарт, в надежде поставить его в тупик, предложил находить касательную к листу.
Общность метода Ферма дает право считать его одним из основателей исчисления. Несомненно, что он мог найти касательные ко всем кривым, заданным полиномиальными уравнениями 
вероятно, ко всем алгебраическим кривым р(х,у) 
Полностью в явном виде правило для последней задачи найдено Слузом около 1655 года [но не публиковалось до Слуза (1673)] и Гудде в 1657 году [опубликовано в издании Геометрии Декарта 1659 года 
Шутен (1659)]. В нашей системе обозначений, если
то
В настоящее время, это результат легко получить с помощью неявного дифференцирования (см. упражнения), но его также можно получить непосредственными манипуляциями с многочленами.
Упражнения
(см. скан)
