1.5. Иррациональные числа

Мы упоминали, что вавилоняне, несмотря на то, что, вероятно, осознавали геометрическое значение теоремы Пифагора, посвятили большую часть своего внимания тройкам целых чисел, которые она выявила, пифагоровым тройкам. Пифагор и его последователи были преданы

целым числам еще больше. Именно они открыли роль чисел в музыкальной гармонии: разделение колеблющейся струны на две повышает высоту ее тона на октаву, разделение на три повышает высоту еще на одну пятую и т. д. Это великое открытие, первый ключ к тому, что физический мир может иметь в своей основе математическую структуру, вдохновило их на поиски числовых моделей, которые всюду означали для них модели целых чисел. Представьте их ужас, когда они обнаружили, что теорема Пифагора привела к величинам, которые были численно невычислимы. Они нашли длины, которые были несоизмеримы, т. е. неизмеримы как целые кратные одной и той же единицы. Отношение между такими длинами не было, поэтому, отношением целых чисел, следовательно, с точки зрения греков вообще не было отношением, или иррациональностью.

Несоизмеримые длины, открытые пифагорейцами, являлись стороной и диагональю единичного квадрата. Непосредственно из теоремы Пифагора следует, что

Следовательно, если диагональ и сторона находятся в отношении (где можно предположить, что типне имеют общего делителя), мы имеем

откуда

Пифагорейцы интересовались нечетными и четными числами, поэтому они, вероятно, заметили, что последнее уравнение, которое говорит, что четное число, также означает, что четное число, стажем Но если

тогда

следовательно,

что так же означает, что четное число, в противоположность гипотезе о том, что типне имеют общего делителя. (Это доказательство

появляется в Prior Analytics Аристотеля. Альтернативное, более геометрическое доказательство упоминается в разделе 3.4.)

Это открытие имело глубокие последствия. Легенда рассказывает о том, что первый пифагореец, который обнародовал этот результат, был утоплен в море [см. Хит (1921), т. 1, стр. 65, 154]. Оно привело к разделению между теориями чисел и пространства, которое преодолели не раньше девятнадцатого века (если именно тогда, обычно добавляют некоторые математики). Пифагорейцы не могли принять в качестве числа, но никто не мог отрицать, что это была диагональ единичного квадрата. Следовательно, геометрические величины следовало рассматривать отдельно от чисел или, скорее, без упоминания каких-либо чисел, за исключением рациональных. Греческие геометры, поэтому, разработали оригинальные методы точного обращения с произвольными длинами на основе рациональных чисел, известные как теория пропорций и метод исчерпывания.

Когда Дидекинд снова рассмотрел эти методы в девятнадцатом веке, он осознал, что, в конце концов, они обеспечивали арифметическую интерпретацию иррациональных величин (глава 4). В таком случае возможно, как показал Гильберт (1899), урегулировать очевидный конфликт между арифметикой и геометрией. Ключевая роль теоремы Пифагора в этом урегулировании описана в следующем разделе.

Упражнения

(см. скан)