14.97. Доказательства Даламбера и Гаусса
Ключ к доказательству Даламбера — теорема ныне известная, как лемма Даламбера: если 
непостоянная полиномиальная функция и 
то любая окрестность 
содержит точку 
так что 
Доказательство этой леммы, предложенное Даламбером, зависело от решения уравнения 
для 
как дробно-степенного ряда в 
Как говорилось в разделе 9.5, о таком решении объявил Ньютон (1671), но ясным и строгим его сделал лишь Пюизе (1850). Поэтому аргументация Даламбера не держалась на надежном основании, и в любом случае, она была излишне усложненной.
Простое элементарное доказательство леммы Даламбера дано Арганом (1806). Арган был одним из сооткрывателей геометрического представления комплексных чисел [вероятно, первым был Вессель (1797), но его труд оставался почти неизвестным в течение 100 лет], и он предложил следующее доьсазательство в качестве иллюстрации эффективности представления.
Значение 
интерпретируется как точка 
в плоскости, так что 
расстояние 
от начала координат. Мы хотим найти 
так что 
ближе к началу координат, чем 
Если
то
где 
содержит первую ненулевую ,4, и 
мало по сравнению с когда 
мало (потому что 
содержит более высокие степени 
В таком случае ясно, что (рисунок 14.5) выбором направления 
так что 
противоположно по направлению 
мы получаем 
Это завершает доказательство леммы Даламбера.
Рисунок 14.5: Построение для леммы Даламбера
Для завершения доказате 
ьств а основной теоремы алгебры, возьмем произвольный многочлен 
и рассмотрим непрерывную функцию 
Поскольку 
для 
большого, 
возрастает с 
вне достаточно большого круга 
Мы теперь получаем 
для которого 
из теоремы об экстремальном значении Вейерштрасса (1874); непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве принимает максимальные и минимальные значения. По этой теореме, 
принимает минимальное значение при 
Минимум 
по определению, и, если 
мы получаем противоречие по лемме Даламбера: либо точка 
где 
принимает значение меньше своего минимума, либо точка 
где 
меньше, чем ее значения на 
Поэтому имеется точка 
где 
следовательно, 
В доказательстве Гаусса также использовался тот факт, что 
ведет себя как член высшей степени 
при большом 
и также основывается на аргументе непрерывности, чтобы показать, что 
внутри некоторого круга 
Гаусс рассмотрел действительные и мнимые части 
и исследовал кривые
[Легко увидеть, что это алгебраические кривые 
и 
разлагая степени 
и собирая действительные и мнимые члены.] Его цель заключалась в отыскании точки, где эти кривые
пересекаются, потому что в такой точке
При 
большом, кривые близки к кривым 
которые являются семействами прямых линий, проходящих через начало координат. Более того, линии, где 
чередуются с теми, где 
по мере того, как создаешь контур вокруг начала координат. Например, рисунок 14.6 показывает 
чередующиеся сплошные и штриховые линии. Отсюда следует, что кривые 
пересевают достаточно большой круг 
попеременно. Вплоть до этого момента аргументация сравнима с леммой Даламбера, и ее точно также можно сделать строгой.
Рисунок 14.6: Линии для доказательства Гаусса
Чтобы завершить это доказательство, нам следует лишь показать, что кривые пересеваются внутри круга, и именно в этом шаге, как полагал Гаусс, никто не мог сомневаться. Он предположил, что отдельные участки алгебраической кривой 
вне круга 
соединятся внутри круга, как и отдельные участки 
Тогда поскольку участки 
чередуются с участками 
на 
было бы «явно абсурдным», если бы их связующие участки внутри круга не пересевались. Следует лишь мысленно представить ситуацию, похожую на видимую на рисунке 14.7, чтобы быть уверенным, что Гаусс был прав. Однако существование связующих участков чрезвычайно трудно довазать (и довазательство, что они пересеваются также не тривиально, будучи, по крайней мере, таким же трудным, как теорема о промежуточном значении). Первое довазательство было дано Островским (1920).
Рисунок 14.7: Кривые для довазательства Гаусса
С сегодняшней точки зрения, путь Даламбера к основной теореме алгебры представляется в самой своей основе легким, потому что он протевает через общие свойства непрерывных функций. Путь Гаусса, несмотря на то, что на расстоянии представляется в равной степени легким, проходит через все еще незнакомую территорию действительных алгебраических кривых. Пересечения действительных алгебраических кривых труднее понять, чем пересечения комплексных алгебраических кривых, и ретроспективно их труднее понять, чем основную теорему алгебры. Несомненно, как мы увидим в следующей главе, основная теорема дает нам теорему Безу, которая, в свою очередь, разрешает задачу подсчета пересечений комплексных алгебраических кривых.
