14.93. Кубические уравнения
Решение кубического уравнения дель Ферро-Тартальи-Кардано
имеет вид
как мы видели в разделе 6.5. Формула включает комплексные числа, когда 
Однако, это невозможно отбросить как случай, не имеющий решения, потому что кубическое уравнение всегда имеет, по крайней мере, один действительный корень (поскольку 
положительно для достаточно большого положительного у и отрицательно для достаточно большого отрицательного 
Таким образом формула Кардано поднимает проблему согласования действительного значения, найденного, скажем, проверкой с выражением вида
Кардано не был готов к этой задаче в Ars magna [Кардано (1545)]. Правда, он, действительно, один раз упомянул комплексные числа, но в связи с квадратными уравнениями, и сопроводил комментарием, что эти числа были «столь же тонки, сколь и бесполезны» [Кардано (1545) гл. 37, Правило II].
Первой работой, где комплексные числа воспринимаются серьезно, и достигнуто необходимое согласование, была работа Бомбелли (1572). Бомбелли разработал формальную алгебру комплексных чисел, с особой целью приведения выражений 
к виду с 
Его метод дал ему возможность показать реальность некоторых выражений, вытекающих из формулы Кардано. Например, решение
имеет вид
согласно формуле. С другой стороны, проверка дает решение 
Бомбелли подозревал, что обе части х в формуле Кардано имели вид 
и он нашел, возводя формально эти выражения
в куб [используя 
], что действительно 
следовательно, формула Кардано также дает 
Рисунок 14.1 — факсимиле страницы рукописи, на которой Бомбелли сформулировал свой результат. Не трудно различить предшествующие выражения, если принять во внимание систему обозначений и тот факт, что 
записан как Рисунок 14.1: Рукопись Бомбелли
Намного позже Гёльдер (1896) показал, что любая алгебраическая формула для решения кубического уравнения должна включать квадратные корни величин, которые становятся отрицательными для конкретных значений коэффициентов. Доказательство результата Гёльдера можно найти у ван дер Вардена (1949), с. 180.
Упражнения
(см. скан)
