10.65. Суммирование рядов
Результаты по бесконечным рядам, которые мы до сих пор видели, являются, по большей части, скорее декомпозициями или разложениями, нежели суммированиями. То есть, начинаешь с «известной» величины или функции и раскладываешь ее в бесконечный ряд. Решения обратной задачи, суммирования заданного ряда, были сравнительно редкими. Одним из них было суммирование Архимедом 
Возможно, следующим было суммирование ряда, такого
как 
данное Менголи (1650). Ряд 
легко суммируется вследствие счастливого случая:
следовательно,
Предполагая, что 
мы тогда получаем сумму 1 для бесконечного ряда.
Первой, действительно трудной задачей суммирования была: 
Менголи безуспешно взялся за ее решение, также как и братья Бернулли, Якоб и Иоганн, в серии статьей [Бернулли, Якоб и Иоганн (1704)]. Братья Бернулли смогли суммировать похожие ряды, заново открыв ряд Менголи 
а также суммировали 
но для самого 
они смогли получить только тривиальные результаты, такие как
Решение, наконец, было получено Эйлером (1734), долгое время спустя после смерти Якоба Бернулли, и Иоганн Бернулли воскликнул: «Тагам образом удовлетворено самое горячее желание моего брата... если бы только мой брат был еще жив!» (Иоганн Бернулли, Opera, т.4, с.22). Действительно, услышав, что сумма равна 
Иоганн Бернулли сам открыл доказательство, которое оказалось таким же, как у Эйлера.
Эйлер (1707-1783) был, вероятно, величайшим виртуозом операций с рядами, и его первое суммирование 
было одним из самых смелых аргументов. (Позже он дал более строгие доказательства.) Рассмотрим уравнение
легко получаемое из ряда синусов раздела 8.5. Это уравнение имеет корни 
но не 0; потому
что 
по мере того, так 
Теперь, если полиномиальное уравнение
имеет корни 
то
по теореме о делимости многочлена Декарта. Кроме того,
поскольку каждый член х в разложении правой части (2) возникает из члена 
в одном множителе, умноженном на 
во всех других множителях. Предположив, что это также верно о «бесконечном полиномиальном» уравнении (1), мы получаем
то
Следовательно,
Упражнения
(см. скан)
