2-2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

Классическая теория автоматического регулирования использовала для описания динамических свойств элементов и систем исключительно дифференциальные уравнения и их решения. В современной теории регулирования, кроме того, широко используются более экономные в практическом применении средства описания динамических: свойств: передаточные функции, временные и частотные характеристики.

В различных случаях удобно применять две различные формы передаточной функции: операторную форму и форму преобразования Лапласа.

Передаточная функция элемента или системы в форме (преобразования Лапласа получается в результате интегрального преобразования Лапласа линейного уравнения данного элемента или системы. Функция (времени преобразуется в функцию комплексного аргумента и — вещественные величины, помощи прямого преобразования Лапласа

где называется изображением оригиналом

Если известно то оригинал может быть получен с помощью операции обратного преобразования Лапласа или по таблицам соответствий наиболее типичных оригиналов и изображений. Операция прямого преобразования обозначается операция обратного , т. е. и Изображение производной функции можно получить по изображению самой величины. Если дано то

где значение х при Используя правило (2-23), имеем:

где значения производных при

Для образования передаточной функции осуществляется операция над левой и правой частями уравнения элемента или системы. При этом предполагается, что до начала воздействия входного сигнала, т. е. при система находилась в покое, т. е. значения (Выходной величины ее производных были равны нулю. Иначе говоря, преобразование осуществляется при нулевых начальных условиях.

Передаточной функцией (в форме преобразований Лапласа) называется отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях.

Возьмем для примера уравнение (2-21)

Производя преобразование при нулевых начальных условиях, получаем:

Образуем отношение изображений выходной величины к входной

Это отношение изображений, обозначенное и является передаточной функцией элемента системы.

В более общем случае, когда поведение системы описывается линейным уравнением или системой линейных уравнений порядка, передаточная функция имеет вид:

где

Как (видно, передаточная функция является дробно-рациональной функцией аргумента и свойства системы отображаются коэффициентами полиномов

Отметим некоторые общие свойства передаточной функции. Знаменатель передаточной функции — многочлен -является характеристическим полиномом

дифференциального уравнения рассматриваемой системы. В физически реализуемых передающих системах всегда

При передаточная функция превращается в коэффициент усиления

Передаточную функцию можно представить в виде:

где - корни уравнения или нули полинома и в то же время нули передаточной функции нули полинома

Значения аргумента, обращающие функцию в бесконечность, называются полюсами функции. Нули функции являются в же время полюсами передаточной функции

Изображение входного сигнала передаточная функция определяют изображение выходного сигнала

Очень часто представимо дробно-рациональной, функцией, т. е.

Используя способ разложения дробно-рациональной функции на простые дроби, получим для случая простых (некратных) полюсов

где полюсы или нули полюсы или нули

При простых (некратных) полюсах

Переходя в (2-25) к оригиналу, найдем:

Выражение (2-26) справедливо и для кратных полюсов, только в этом случае соответствующие или уже не постоянные числа, а полиномы степени где кратность соответствующего полюса.

Выходной сигнал как видно из (2-26), состоит из двух слагаемых

Первое слагаемое определяется полюсами передаточной функции и носит название переходной составляющей выходного сигнала. Второе слагаемое определяется полюсами изображения и является вынужденной составляющей выходного сигнал. Заметим, что при аналитическом решении уравнения системы есть общее решение соответствующего однородного уравнения, частное решение неоднородного уравнения, определяемое видом

В общем случае оригинал может быть определен с помощью операции обратного преобразования Лапласа

Интегрирование производится в комплексной плоскости вдоль прямой, параллельной мнимой оси, проходящей через точку

Точка выбирается так, чтобы все полюсы и нули лежали левее указанной прямой.

Иногда бывает удобно применять операторную форму передаточной функции. Передаточной функцией в операторной форме называется дифференциальный оператор, который, будучи приложен к входной величине рассматриваемой системы, дает выходную величину этой системы, т. е.

где передаточная функция в операторной форме; символ дифференцирования по времени.

Передаточная функция образуется из дифференциального уравнения после введения символа Для рассмотренного выше уравнения (2-21) передаточная функция в операторной форме имеет вид:

И в данном примере и в общем случае передаточная функция в форме преобразования Лапласа получается из операторной простой заменой

С помощью символа D удобно свертывать систему дифференциальных уравнений к одному уравнению относительно какой-либо одной величины и составлять передаточные функции электрических цепей. При составлении передаточных функций, электрических цепей вводят понятие символического индуктивного сопротивления и символического емкостного сопротивления Для получения передаточной функции цепи составляются алгебраические уравнения цепи, коэффициентами которых являются наряду с омическими сопротивлениями также и символические. Заметим, что если символ дифференцирования, то — символ интегрирования. Это значит, что интеграл в операторной форме записывается в виде При использовании символов нужно иметь в виду, что эти символы допускают следующие арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, возведение в целую степень как положительную, так и отрицательную. Арифметические действия с символами D — обладают свойством дистрибутивности и не обладают свойством коммутативности в отношении функции времени Последнее означает что следует писать но не имеет смысла выражение Свойство дистрибутивности позволяет выносить за скобки функцию времени, образовывать полиномы и дробно-рациональные функции символа .