14-3. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ИХ РАЗНОСТИ И СУММЫ

а) Дискретные функции и последовательности

Дискретные во времени функции определены для дискретных значений аргумента . Внутри интервала течение функции произвольно. Дискретные входные и выходные функции приведены на рис. 14-11,в и 14-12,е. Из любой непрерывной функции образуется дискретная, если принимаются во внимание только ее дискретные значения.

Дискретные функции будут обозначаться или в нормированной форме Поскольку значение ординаты с номером то «будут использоваться и более краткие обозначения Нам потребуется понятие дискретной последовательности как совокупности всех значений ординат при . Аналитические выражения как функции номера являются общими членами этих последовательностей. Собственно дискретную функцию как последовательность будем обозначать

Приведем примеры некоторых дискретных функций:

единичная ступенчатая функция;

В этом случае последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем

б) Разности и суммы

Аналогом производных для дискретных функций являются разности. Из последовательности образуется последовательность первых разностей или разностей первого порядка

по правилу

Из последовательности первых разностей образуется последовательность вторых разностей (разности второго порядка)

где

Соответственно разность порядка

Из видно, что разность второго порядка выражается через члены исходной последовательности. Через члены исходной последовательности выражается также разность любого порядка по формуле

где с — коэффициенты бинома Ньютона.

Если разности являются аналогами производных, то соответственно суммы являются аналогами интегралов. Суммирование — операция, обратная операции получения разности. По определению сумма равна:

при

и

Примеры.

1. Определить первую разность

2. Определить разности

3. Определить сумму

По формуле для суммы арифметической прогрессии

проверка дает:

4. Определить сумму

По формуле для суммы геометрической прогрессии

проверка дает:

в) Уравнения в конечных разностях

Линейным неоднородным уравнением (с постоянными коэффициентами) в конечных разностях называется уравнение вида:

где известная дискретная функция; дискретная функция, определяемая уравнением; а. — постоянные коэффициенты.

Для нахождения конкретного решения уравнения, т. е. определения конкретной дискретной функции, нужно задать и начальные значения всех разностей до включительно, т. е. При уравнение (14-23) называется однородным.

С помощью (14-21) разностному уравнению можно придать другую форму:

где постоянные коэффициенты, определяемые по

Уравнение (14-24) представляет собой рекуррентное соотношение, которое позволяет вычислить любой член последовательности по значениям предыдущих ее членов и значению

Операцию суммирования также можно записать в виде рекуррентного соотношения. По определению следовательно,

при

С помощью (14-25) вычисляются последовательные значения суммы при любой функции

Символ можно рассматривать как оператор, преобразующий в ее разность. Уравнение (14-23) можно записать в символической форме:

или в более общем виде:

где

Введем также символ или оператор осуществляющий операции

Соответственно

Так как

С помощью (14-27) и (14-28) можно переходить от первой формы уравнений (14-23) ко второй (14-24) и наоборот. В символической форме

уравнение (14-24) будет иметь вид:

По определению суммы ее разность откуда

или

является символом или оператором суммы.

Символ можно разложить в ряд по степеням формальным делением числителя на знаменатель. Тогда

или

что совпадает с выражением (14-22).

Прием разложения в ряд дробно-рациональных функций позволяет находить решение уравнений в конечных разностях (при нулевых начальных условиях), записанных во второй форме. В самом деле, из (14-29) находим:

откуда при

где коэффициенты разложения по степеням они определяются или делением на или из решения системы уравнений, получающихся в результате приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях

Пример. Найдем решение неоднородного уравнения 1-го порядка

Представим уравнение в символической форме и разложим дробно-рациональную функцию аргумента в ряд по степеням

Отсюда согласно (14-33)

Результат получен после применения формулы для суммы геометрической прогрессии.