20-4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ С ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ НАСТРОЙКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ

а) Экстремум при разомкнутых цепях самонастройки

Весовая (импульсная переходная) функция основного разомкнутого контура, входная величина которого в, а выходная — (рис. 20-13), равна:

Эта функция выражает реакцию контура на единичный импульс поступающий на вход в момент времени

Весовые функции соответствуют отдельным параллельным цепям последовательного корректирующего устройства совместно с нестационарной частью системы, т. е. соответствует оператору (рис. 20-13).

Считая эталонный фильтр в общем случае нестационарным, обозначим его весовую функцию Возмущающими воздействиями, приложенными к объекту и другим точкам схемы (за исключением пробного сигнала ), будем пренебрегать. Тогда рассогласование на входе квадратора выразится формулой

Введем для симметрии выражений параметр перед Тогда

Если случайная функция, то также случайные функции времени.

Таким образом, выходную величину квадратора можно записать в виде:

Рассмотрим сначала математическое ожидание величины в системе с разомкнутыми цепями самонастройки. Размыкая цепи самонастройки в точках подсоединения этих цепей к множительным звеньям (корректирующих устройств и задавая постоянные значения параметрам получим:

где индекс указывает на разомкнутое состояние цепей самонастройки. Применяя к этому выражению операцию математического ожидания, находим:

где

корреляционная функция сигнала рассогласования 6,

Итак, математическое ожидание выходной величины квадратора при фиксированных параметрах настройки является квадратичной формой этих параметров с переменным» во времени коэффициентами Вследствие симметричности корреляционной функции

Системы экстремальной настройки корректирующих устройств позволяют получить минимум математического ожидания и дисперсии квадрата рассогласования . В замкнутой системе самонастройки величины х являются функциями времени и Однако при медленных процессах самонастройки, как видно из дальнейшего, выражения и близки. Отсюда вытекает, что для нормального функционирования системы самонастройки квадратичная форма (20-25) должна иметь минимум по параметрам настройки

Необходимым и достаточным условием существования минимума

по параметрам настройки является положительность симметричных определителей:

Легко показать, что эти условия всегда выполняются, так как определенно положительная величина. Для интерпретации этих условий следует обратить внимание на то, что величина равна математическому ожиданию произведений двух сигналов, из которых один проходит ветвь корректирующей цепи и объект а второй — ветвь корректирующей цепи и объект (рис. 20-13). Очевидно, что коэффициенты с одинаковыми индексами всегда положительны.

Если пробный сигнал в является белым шумом:

где то

т. е. коэффициенты квадратичной формы и определителей представляют собой интегральные оценки произведений весовых функций соответствующих ветвей. Если к тому же параметры объекта за время самонастройки меняются незначительно, то нестационарностью весовых функций можно пренебречь и полагать

Можно ввести понятие ортогональных весовых функций. Весовые функциии при данной корреляционной функции будем называть ортогональными, если 00 00

при всех

При ортогональных весовых функциях квадратичная форма (20-25) имеет канонический вид:

и существование минимума очевидно [определители (20-26) обращаются в произведения положительных диагональных элементов].

Важное значение имеет величина этого минимума. В точке минимума

или

Главный определитель этой системы уравнений в силу (20-26) положителен и

где минор элемента столбца и строки.

Подставляя эти значения в квадратичную форму, после элементарных алгебраических преобразований находим минимум математического ожидания квадрата рассогласования в в разомкнутой системе: