б) Использование логарифмических характеристик системы для исследования устойчивости. Понятие о запасе устойчивости

Определить, устойчива или неустойчива система, можно по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы На рис. 9-10 — 9-12 приведены примеры логарифмических характеристик устойчивых и неустойчивых систем. На рис. 9-10 приведен

Рис. 9-10. Годографы (а) и логарифмические характеристики (б).

простейший случай, когда при устойчивой системе годограф один раз пересекает вещественную полуось между началом координат и точкой (рис. 9-10,а). При пересечении годографом вещественной отрицательной полуоси фаза . В устойчивой системе при фазе, равной — и, модуль меньше единицы. Следовательно, замкнутая система устойчива, если при достижении фазовой характеристикой значения амплитудная логарифмическая характеристика отрицательна. Другими словами, замкнутая система устойчива, если амплитудная логарифмическая характеристика перейдет через нуль при частоте, меньшей частоты, при которой фазовая характеристика принимает значение — Частота, при которой называется частотой среза Частоту, при которой фазовая характеристика равняется — обозначим . В устойчивой минимально-фазовой системе при частоте среза . В неустойчивой системе (пунктирные кривые на рис. 9-10) при частоте среза

В критическом случае, когда годограф проходит через точку система оказывается на границе устойчивости и в замкнутой системе, возникают свободные гармонические колебания. Чем дальше годограф в случае устойчивой системы проходит от критической точки тем, вообще говоря, сильнее затухание свободных колебаний в замкнутой системе. Меры удаления годографа от критической точки получили в связи с этим название запасов устойчивости.

Различают запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде

Рис. 9-11. [Годографы (а) и логарифмические характеристики (б).

Рис. 9-12. Логарифмические частотные характеристики и годографы (б) системы стабилизации угла тангажа самолета.

Оба запаса устойчивости показаны на рис. 9-10, б. Чем больше у и А. тем, очевидно, дальше от точки проходит амплитудно-фазовая характеристика.

На рис. 9-11,б приведен случай более сложной системы. Фазовая характеристика несколько (раз пересекает линию , потому что годограф несколько раз пересекает вещественную отрицательную полуось. Минимально-фазовая система устойчива, если число пересечений фазовой характеристики до частоты среза — четное. (При подсчете числа пересечений в расчет принимается одно пересечение при когда число интегрирующих звеньев и более. Системы, имеющие частотные характеристики, подобные изображенным на рис. 9-11, a, имеют два запаса устойчивости по амплитуде: при частоте при частоте Системы такого рода имеют одну особенность: они становятся неустойчивыми как при увеличении, так и три уменьшении коэффициента усиления разомкнутой системы в то время как системы, имеющие частотные характеристики типа рис. становятся неустойчивыми только при увеличении коэффициента усиления (частотные характеристики неустойчивых систем на рис. 9-10 и 9-11 показаны пунктиром).

На рис. 9-12, а и б показаны частотные характеристики, типичные для системы стабилизации угла тангажа самолета. Для этой системы характерно наличие колебательного звена со слабым затуханием и (идеального форсирующего эвена, постоянная которого всегда больше постоянной колебательного звена. Логарифмическая характеристика имеет три частоты среза: Устойчивость определяется по отношению к последней частоте среза , поскольку остальные приходятся на участок фазовой характеристики с большим запасом-фазы. Сплошной линией показаны частотные характеристики неустойчивой системы, пунктирной — устойчивой. Устойчивость достигается за счет введения в разомкнутый контур форсирующего звена с передаточной функцией