11-3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ ЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Основные динамические характеристики линейных стационарных систем, такие как переходная функция, импульсная переходная функция и частотная характеристика, соответствующим образом обобщаются на нестационарные системы. При этом обобщения имеют смысл для квазистационарных систем с относительно медленным изменением параметров системы или коэффициентов ее уравнений.

Критерием медленности изменения коэффициентов может служить величина их изменения за время регулирования, определенное при фиксированных коэффициентах. Если переходная функция имеет ярко выраженный колебательный характер, то критерием медленности может служить величина изменения коэффициентов за время периода колебаний. Согласно этому критерию не только разные системы, но и одна и та же система в зависимости от момента воздействия ступенчатого сигнала или импульсного сигнала может быть стационарной с различными значениями коэффициентов, квазистационарной и, наконец, существенно нестационарной. Рассмотрим в качестве иллюстрации систему уравнений (11-3) с учетом (Входного сигнала и боковой составляющей ветра Входной сигнал воздействующий на канал управления креном, пропустим предварительно через усилитель с коэффициентом усиления Теперь система (11-3) записывается следующим образом:

Из (11-11) при получаем:

а при

где

Рис. 11-6. График изменения коэффициента

Из решения уравнений (11-12) и (11-13) найдем переходные и импульсные переходные функции нестационарных систем, полагая управляющее воздействие и возмущение в уравнения (11-12) и ступенчатыми сигналами и импульсными сигналами где — значение независимой переменной при котором на систему оказывается воздействие или . В результате решения этих уравнений при нулевых начальных условиях (при ) определяются переходные функции и импульсные переходные функции нестационарных систем. Поскольку коэффициенты уравнений меняются, то переходные функции будут различны для различных моментов воздействия на систему или . В стационарных системах при воздействии соответственно получим т. е. переходные функции являются только функциями разности Запись или отражает зависимость переходных функций не только от разности но и от момента приложения воздействия Вместо или будем применять также записи

Для дальнейшего, рассмотрения возьмем уравнение (11-12) с числовыми коэффициентами

где На рис. 11-6 построен график коэффициента при и примерный вид для сек. При выбранном значении время сек можно разбить на три интервала: (рис. 11-6). В интервале А систему вполне можно считать стационарной с различными фиксированными значениями коэффициента . В интервале В с более интенсивным изменением коэффициента систему следует рассматривать как квазистационарную. Наконец, в интервале С происходит настолько интенсивное возрастание что система оказывается существенно нестационарной. В данном случае величина а определяет интервалы и правомерность выделения интервалов А и В. Так, например, если взять то интервалы исчезнут, поскольку система при любом оказывается существенно нестационарной. При таких значениях а за время регулирования сек в системе

Рис. 11-7. Вычисление реакции на входной сигнал известной импульсной реакции от первого импульса от второго импульса от третьего импульса

с фиксированными коэффициентами фактическое значение коэффициента изменяется от единицы до

Если известна импульсная реакция нестационарной линейной системы то с помощью теоремы о свертке двух функций (интеграл Дюамеля) мойшо вычислить реакцию системы на любой сигнал Представляя в виде последовательности элементарных импульсов (рис. 11-7), а затем переходя к пределу, получим выражение для в следующем виде:

В более общем виде, когда сигнал начинается в бесконечно отдаленный момент времени,

Возьмем в виде гармонического сигнала с началом при тогда

Введем в подынтегральное выражение тогда

Как и в стационарных системах, определим передаточную функцию или в данном случае амплитудно-фазовую характеристику, как отношение выходного сигнала к входному

Учитывая, что получим выражение для амплитудно-фазовой характеристики в обычной форме

где Как видно, амплитудно-фазовая характеристика нестационарной системы является преобразованием Фурье импульсной переходной функции. И та и другая в отличие от стационарных систем есть функции параметра

При известной импульсная переходная функция определяется в результате операции обратного преобразования Фурье

В более общем случае паре преобразований Фурье (11-17) и (11-18) соответствует аналогичная пара преобразований Лапласа

Последняя формула справедлива и для случая, когда вместо под знаком интеграла стоит произведение где — множитель, не зависящий от параметра

Рассматривая как изображение входного сигнала найдем выходную величину

Таким образом, как и в стационарных системах, изображение "выхода" равно произведению передаточной функции на изображение входа

Для вычисления оригиналов по изображениям можно использовать приближенные методы, известные для стационарных систем. Из (11-21) при вытекают две вещественные формы

где

и

где

Интегралы (11-23) и (11-24) можно вычислить приближенно, разбивая на трапеции при различных значениях параметра Интеграл удобно применять, когда имеет нулевой полюс. Для вычисления с помощью интеграла (11-24) используется приведенная в приложении I таблица функций. Методика построения переходного процесса следующая [Л. 11-4]: по методу трапецеидальных частотных характеристик строится серия переходных функций для различных значений параметра Отмечаются точки на построенных кривых, когда значения параметра равны текущему времени. Соединяя эти точки плавной кривой, получаем график приближенного значения кривой переходного процесса нестационарной системы (рис. 11 -8).

Рис. 11-8. К определению приближенной переходной функции нестационарной системы методом трапецеидальных частотных характеристик.

В заключение рассмотрим связь между импульсной переходной функцией и переходной функцией нестационарной системы. Представим -функцию как предел разности двух смещенных на ступенчатых функций, отнесенных к

В соответствии с принципом суперпозиции реакцию линейной системы на прямоугольный импульс неизменной площади также можно представить в виде предела

Но этот предел, очевидно, и есть импульсная переходная функция. Таким образом,

т. е. импульсная переходная функция нестационарной системы равна частной производной переходной функции по параметру с обратным знаком.