9-2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА—ГУРВИЦА

Раус и несколько позднее Гурвиц нашли условия, при которых многочлен любой степени не содержит нулей с (положительной вещественной частью. Эти условия и Раус и Гурвгац дали в виде неравенств, составленных по особым правилам из коэффициентов многочлена.

Приведем условию или неравенства Гурвица. Неравенства Гурвица записываются в форме определителей, составленных из коэффициентов многочлена т. е. коэффициентов характеристического уравнения

Определители имеют следующий вид:

Определитель До имеет столбцов и строк, он составляется следующим образом: по главной диагонали выписываются коэффициенты

характеристического уравнения по возрастающим индексам, далее правее главной диагонали все строки заполняются коэффициентами по убывающим индексам, левее — по возрастающим. Оставшиеся пустые места заполняются нулями. Из определителя последовательным вычеркиванием крайних левых столбцов и верхних строк получаются еще определителей Определитель равен коэффициенту уравнения

Исследуемая система устойчива (многочлен имеет корни в левой полуплоскости), если три все определителей положительны, т. е.

где

и т. д. Это — необходимое и достаточное условие. Заметим, что перед составлением До уравнение (9-5) приводится к виду, при котором

Рассмотрим несколько многочленов различных степеней. Многочлен первой степени имеет один корень и условие устойчивости при сводится к положительности

Многочлен второй степени еделител для этого многочлена

Система устойчива, если (при ). Отсюда необходимое и достаточное условие устойчивости для системы второго порядка заключается в положительности всех трех коэффициентов ее уравнения:

Многочлен третьей степени

Условия устойчивости

Из последнего неравенства вытекает поскольку Из неравенства при вытекает, что и Таким образом, система устойчива, если

и

Для уравнения третьей степени недостаточно только положительности коэффициентов уравнения. Необходимо, кроме того, выполнение неравенства (произведение средних коэффициентов должно быть больше произведения (крайних). Многочлен четвертой степени

После раскрытия определителей Гурвица получаются следующие условия устойчивости:

Как видно, и в этом случае, кроме положительности коэффициентов, требуется еще выполнение неравенства (9-8).

Для многочленов пятой степени и выше условиями устойчивости будут положительность коэффициентов и серия неравенств, тем более сложных, чем выше степень многочлена.

Положительность коэффициентов уравнения есть необходимое условие устойчивости (для многочленов первой и второй степеней необходимое условие в то же время является достаточным). Поэтому, если среди коэффициентов до - включительно какой-либо коэффициент равен нулю 1 или среди всех коэффициентов какой-либо отрицателен, то система неустойчива. Необходимое условие устойчивости было доказано в конце прошлого столетия известным специалистом по автоматическому регулированию, словацким инженером Стодола. Будучи профессором Цюрихского университета, он предложил своему коллеге по университету Гурвицу проблему определения условий, при которых у многочлена нет корней в правой полуплоскости и на мнимой оси. Как видно из изложенного выше, в результате решения этой проблемы Гурвицем были даны не только необходимые, но и достаточные условия устойчивости.

Заметим, что многочлены, не содержащие корней в правой полуплоскости и на мнимой оси, получили наименование многочленов Гурвица.