е) Определение коэффициентов уравнений по заданному распределению корней. Стандартные коэффициенты характеристических уравнений

Для характеристического уравнения в форме

коэффициенты связаны с корнями следующими соотношениями:

Пользуясь этими соотношениями и задаваясь корнями, можно вычислить соответствующие значения коэффициентов уравнений. При всех кратных корнях коэффициенты уравнений в форме Вышнеградского являются коэффициентами бинома Ньютона

В табл. 10-1 приведены биномиальные коэффициенты для (в табл. 10-1, а также в табл. 10-2-10-5 в строке соответствующего порядка уравнения дается последовательность коэффициентов так, например, для пятого порядка:

Все кратные корни, а следовательно, и биномиальные значения коэффициентов могут быть рекомендованы для систем с передаточными функциями не имеющими нулей. Переходные функции при биномиальных коэффициентах приведены на рис. 10-14.

Характеристический многочлен при четном можно представить как произведение квадратных трехчленов

где .

При нечетном произведение состоит из квадратных трехчленов и одного двучлена первой степени. Каждый квадратный трехчлен образован парой корней и характеризуется затуханием и собственной частотой Если данная пара корней комплексная, если вещественная, то 1. Для

Таблица 10-1 (см. скан)

Таблица 10-2 (см. скан)

уравнений в форме Вышнеградского всегда

В системах высоких порядков, как и в системе второго порядка, при процесс затухает несколько быстрее, чем при Поэтому можно назначить распределение корней, при котором нечетном свободный коэффициент двучлена принимается равным 1). В табл. 10-2 приведены коэффициенты уравнений для указанного распределения корней при

На рис. 10-17 приведены графики переходных функций для уравнений с коэффициентами из табл. 10-2 при Несколько меньшее время регулирования получается при некратном распределении комплексных корней [Л. 10-26]. Все комплексные корни (и один вещественный при нечетном) располагаются на одинаковом расстоянии от мнимой оси. Мнимые части корней образуют арифметическую прогрессию с разностью у и первым членом прогрессии также у.

Существует оптимальное отношение которому соответствует наименьшее безразмерное время регулирования.

Коэффициенты характеристического уравнения для этого случая приведены в табл. 10-3, графики переходных функций — на рис. 10-18.

Распределение корней, близкое к кратному или кратное (табл. 10-1, 10-2 и 10-3), оказывается неудовлетворительным с точки зрения перерегулирования при наличии нулей у передаточной функции. Перерегулирования (выбросы) получаются большими вследствие больших величин производных функции при упомянутом распределении корней [см. выражение (10-25)]. Для уменьшении производных нарастание приходится

Рис. 10-17. Графики переходных функций при стандартных коэффициентах уравнения, выбранных согласно табл. 10-2 ().

Таблица 10-3 (см. скан)

замедлять, что возможно только путе «разведения» корней по действительной оси и снижения степени устойчивости.

Рис. 10-18. Графики переходных функций при стандартных коэффициентах уравнения, выбранных согласно табл. 10-3 (минимальное время регулирования).

Существуют рекомендации [Л. 10-18] по расположению корней на действительной оси, обеспечивающие приемлемые величины перерегулирования при передаточных функциях (10-34) и (10-35).

При передаточной функции (10-34) с одним нулем рекомендуется располагать корни на вещественной отрицательной полуоси по арифметической прогрессии. При передаточной функции (10-35) с двумя нулями рекомендуется располагать корни геометрической прогрессии. В табл. 10-4 и 10-5 приведены коэффициенты уравнения для указанных распределений корней. На рис. 10-19 и 10-20 для этих случаев показаны переходные процессы.

Коэффициенты уравнений, приведенные в табл. 10-1-10-5, получили название стандартных.

Стандартные коэффициенты во многих, случаях весьма упрощают задачу синтеза систём — выбора параметров системы, удовлетворяющих наперед заданному качеству процесса регулирования.