б) Преобразование корреляционных функций при прохождении случайного сигнала через линейную систему

Основной задачей анализа динамики системы, находящейся под воздействием случайных возмущений, является определение статистических характеристик реакции этой системы на случайные возмущения. Для стационарных линейных систем эту задачу можно решить при помощи корреляционных функций или спектральных плотностей.

Рассмотрйм первоначально преобразование корреляционных функций при воздействии на стационарную систему одной случайной стационарной эргодической функции.

Динамические свойства линейной стационарной системы характеризуются передаточной функцией или импульсной переходной (весовой) функцией Выходная величина у связана с входной величиной х соотношениями

Пусть теперь реализация некоторой стационарной случайной функции. Вновь можем записать интеграл свертки

где введены новые обозначения для независимых переменных. Произведение интегралов

можно записать в виде двойного интеграла

Применяя операцию математического ожидания и учитывая, что

получаем:

Это основное интегральное соотношение связывает корреляционную функцию выходной величины с корреляционной функцией входной величины и импульсной переходной функцией (весовой функцией) рассматриваемой системы. Если представить данное интегральное Соотношение в виде:

то становится ясным, что преобразование корреляционной функции в линейной системе эквивалентно двойной операции свертывания, причем весовой функцией в обеих операциях является импульсная переходная функция рассматриваемой системы.

Следует заметить, что в первой операции свертывания [нижнее уравнение (12-21)] фигурирует вместо обычного . Это соответствует как бы изменению направления течения времени изменению знака у оператора дифференцирования в соответствующей передаточной функции.

Таким образом, если интегральные соотношения заменить передаточными функциями, то

корреляционная функция выходной величины определится уравнением

где передаточная функция рассматриваемой системы.

Во многих случаях ставится задача определения не корреляционной функции выходной величины, а только ее среднего квадрата или дисперсии. Эта задача решается формулой (12-20) при :

Часто математическое ожидание случайной функции на входе системы отлично от нуля, т. е. эта функция не центрирована. В этих случаях, помимо определения дисперсии выходной функции необходимо определить математическое ожидание . Эта задача решается предельно просто-. А именно: если выходная и входная величины связаны линейным оператором

то математические ожидания входной и выходной величин связаны таким же оператором

Таким образом, математические ожидания при прохождении случайных функций через линейные системы преобразуются как неслучайные функции.

Ввиду простоты преобразований математических ожидании мы сосредоточим внимание на преобразованиях центрированных случайных функций, относя математические ожидания к регулярным составляющим входных и выходных сигналов.