2-7. РЕАКЦИЯ ЗВЕНЬЕВ НА ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ИЗВЕСТНЫЕ ФУНКЦИИ ВРЕМЕНИ

Для вычисления выходного сигнала в этом случае представим приближенно сложный входной сигнал в виде серии прямоугольных импульсов продолжительности и амплитуды

Рис. 2-14. Приближенное вычисление реакции на произвольное входное воздействие. -реакция на первый импульс; -реакция на второй импульс; -реакция на третий импульс.

При достаточно малом можно приближенно заменить реакцию данного звена на каждый прямоугольный импульс реакцией на импульсную функцию где

Реакция данного звена на -функцию известна и равна Реакция эвена на прямоугольный импульс будет, следовательно, приближенно равна причем она будет существовать только для Для функция поскольку реакция не может предшествовать воздействию или возмущению. Выходная величина в момент времени будет равна сумме реакций от каждого предшествующего импульса

От выражения (2-51) перейдем к предельному выражению.

В пределе прямоугольный импульс стремится к импульсной функции величина стремится к непрерывной величине х, а сумма (2-51) — к интегралу, который даст теперь точное значение

Интеграл (2-52) называется интегралом Дюамеля или сверткой функций Функции можно поменять местами и представить интеграл в следующем виде:

Изображение Лапласа обоих интегралов (2-52) и (2-53), поскольку оно является изображением выходной величины, равно произведению передаточной функции на изображение воздействия (возмущения)

Наоборот, оригинал произведения двух функций является сверткой оригиналов этих функций.

Пример Найти реакцию инерционного звена с передаточной функцией и импульсной реакцией на прямоугольный импульс длительности и величиной, равной единице.

По формуле (2-52) для промежутка от до

Для промежутка от до

Если в этом промежутке за начало отсчета взять то

Пример 2. Найти реакцию звена с передаточной функцией на ступенчатый сигнал Оригинал заданной равен:

Используя (2-53), найдем:

так как

Этот же результат можно найти как оригинал изображения