11-4. ОСОБЕННОСТИ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И СТРУКТУРНЫХ СХЕМ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Исходными данными для анализа являются или система уравнений с переменными коэффициентами,

или структурная схема (части или всех) звеньев, которые имеют переменные параметры, При свертывании структурных схем [Л. 11-1 и 11-2] или систем уравнений с целью получения уравнения неприменима алгебраизация уравнений, справедливая для стационарных линейных систем. При исключении переменных возникает необходимость дифференцировать произведения вида

Однократное дифференцирование дает:

Соответственно двукратное

Можно ввести индексы у символа указывающие, на какую переменную он воздействует, т. е.

Тогда, например,

Для производной любой кратности справедлива формула

Отсюда, как видно, вытекает приведенная формула двукратного дифференцирования

Исключение переменных удобно производить, введя понятия о линейных операторах

где функции времени. В операционной форме уравнение (11-1) примет вид:

Укажем на ряд свойств линейных операторов, полученных в .

1. Из линейности операторов вытекают тождества

где константы. Знак произведения между переменными и операторами в выражениях (11-27) указывает, что операторы воздействуют на соответствующие переменные При этом оператор пишется впереди переменных

2. При исключении неизвестных из системы уравнения появляется операция воздействия оператора на оператор, не тождественная произведению, как это имело место в выражениях (11-27) и (111-218). Пусть, например,

Воздействуя оператором на первое уравнение, получаем:

или

где знак операции воздействия, не тождественный произведению. В развернутом виде воздействие одного оператора на другой определяется формулой

где порядок оператора или старшая степень . В правой части стоят только знаки произведений. Если же постоянны все коэффициенты оператора а коэффициенты оператора переменны, то (11-29) принимает вид:

где при коэффициенты оператора Как видно, операция воздействия в левой части вырождается в обычное произведение, не обладающее только свойством коммутативности. Формула (111 -30) справедлива, если оба оператора имеют постоянные (коэффициенты. В этом случае произведение двух операторов будет обладать свойством коммутативности, т. е.

3. Дифференцирование произведения двух операторов

4. Воздействие оператора на произведение двух функций

При структурном анализе нестационарной системы приходится учитывать ряд особенностей и новых факторов, не встречающихся в стационарных системах.

Для иллюстрации этих особенностей рассмотрим простейшую систему, структурная схема которой изображена на рис. 11-9.

Рис. 11-9. Влияние расположения интегрирующего звена на точность нестационарной системы. -статическая система; астатическая система.

Как видно, объект регулирования представляет собой инерционное звено с переменным коэффициентом усиления и переменной «постоянной времени» Структура регулятора показывает, что регулирование производится по отклонению и интегралу от отклонения.

В соответствии со структурной схемой запишем уравнение системы

где

Для исключения 8 из первых двух, уравнений (11-33) достаточно продифференцировать первое уравнение или воздействовать оператором на его правую и левую части. В результате исключения переменной 6 получим:

Отсюда получаем дифференциальные уравнения для выходной величины и для ошибки:

В правой части (11-36) имеется компонента Она указывает на наличие медленно меняющейся установившейся ошибки или статизма при ступенчатом сигнале Под установившимся значением или понимается их значение после затухания быстро меняющихся компонент или Таким образом, в отличие от стационарной нестационарная система со структурой рис. 11-9 оказалась «статической».

Поменяем теперь местами

звенья рассматриваемой системы (рис. 11-9,б). Уравнения и свойства стационарной системы в смысле реакции на (входной сигнал в этом случае не претерпевают каких-либо изменений. Иная картина получается нестационарной системе. Запишем уравнения системы для этого случая:

Исключение переменной из первых двух уравнений (11-37) методом подстановки, как это было в сущности проделано для уравнений (11-33), в данном случае не представляется возможным. таких случаях, когда метод подстановки или невозможно применить, или ясно, как его применить, следует воспользоваться методом уравнивающих операторов. Существо метода проиллюстрируем на первых двух уравнениях (11-37). На первое уравнение воздействуем неизвестным пока оператором а на второе — также неизвестным оператором . В результате получим:

Если потребовать тождества

то тогда неизвестное 8 из системы (11-38) можно исключить и получить уравнение, связывающее лиев виде:

Коэффициенты и определяются из решения системы линейных уравнений, возникающих из тождества (11-39). Тождество (11-39) возможно, если степень результирующего оператора левой части равна степени результирующего оператора правой части. Это обстоятельство определяет соотношение степеней операторов и данном случае оба оператора можно принять операторами первой степени, т. е. причем неизвестные функции времени, подлежащие определению. Из тождества можно получить три уравнения для определения трех коэффициентов. Следовательно, одному из коэффициентов можно назначить произвольное значение. Пусть тогда получим тождество в виде:

Осуществляя операции воздействия по изложенным выше правилам, получаем:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, приходим к системе линейных уравнений

Решая систему уравнений (11-41), находим значения искомых коэффициентов

Теперь получаем систему уравнений в виде:

откуда уравнения замкнутой системы

Сопоставляя уравнение с уравнениями (11-43), замечаем, что нестационарная система со структурой рис. 11-9,б как соответствующая стационарная система, является астатической системой первого порядка в отношении воздействия Таким образом, перемещение интегрирующего звена со входа на выход (рис. 11-9,а, б) превратило нестационарную статическую систему астатическую.