19-6. ФОРСИРОВАННЫЕ ПРОЦЕССЫ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ОДНОМЕРНОГО БЕЗЫНЕРЦИОННОГО ОБЪЕКТА

Предыдущее рассмотрение относится в основном к квазистационарным процессам экстремального регулирования, частоты которых малы в сравнении с частотами поисковых колебаний. Квазистационарные режимы имеют исключительно большое значение в экстремальных системах, так как они в некотором

смысле оптимальны, т. е. обеспечивают наибольшую точность экстремального регулирования.

Однако далеко не всегда можно достигнуть квазистационарного режима регулирования. При заданной длительности переходных процессов в замкнутой системе квазистационарный режим может быть получен повышением частот колебаний поиска. Однако реальные объекты всегда в той или иной мере инерционны и повышение частот поиска не всегда допустимо. Вследствие этого для многих практических задач большой интерес представляют форсированные процессы экстремального регулирования, время протекания которых сопоставимо с периодом колебаний поиска (для регулярных поисковых движений) или временами корреляции колебаний поиска (для случайных поисковых движений).

Форсированные процессы экстремального регулирования описываются. нелинейными уравнениями с переменными (регулярными и случайными) коэффициентами, поэтому возможности аналитического исследования здесь весьма ограничены.

а) Уравнения одномерной системы

Структурная схема рассматриваемого контура экстремального регулирования приведена на рис. 19-22. Одномерный безынерционный объект имеет параболическую характеристику:

На вход объекта, помимо «рабочего» движения х, воздействуют поисковые колебания и шум Таким образом,

Рис. 19-22. Структурная схема простейшего контура непрерывного экстремального регулирования одномерного безынерционного объекта.

Вводя обозначение для отклонения рабочего движения от точки экстремума, приводим уравнение системы к виду:

где или

где

При регулярных колебаниях поиска функция регулярна, а функции случайные функции времени. При случайных колебаниях поиска все три функции случайные функции времени. При регулярных колебаниях поиска, отсутствии шума и регулярном дрейфе экстремальной точки функции неслучайны.

Таким образом, рассматриваемая система в общем случае описывается уравнением Риккати [Л. 19-19] с регулярными или случайными функциями в качестве коэффициентов. В той области, где уравнение Риккати заменой переменной

приводится к линейному однородному уравнению второго порядка:

В общем виде уравнения (19-73) и (19-75) не интегрируются в квадратурах. Поэтому рассмотрим частные случаи, а именно: случай больших отклонений и случай малых отклонений.

б) Область больших отклонений от точки экстремума

Уравнение (19-73) с учетом выражений для можно записать в виде:

В области больших отклонений, где

членом можно пренебречь в сравнении с Далее, если скорость дрейфа экстремальной точки существенно меньше скорости рабочего движения в рассматриваемой области, то членом в правой части данного уравнения также можно пренебречь.

Таким образом, при отклонениях, существенно превышающих поисковые и шумовые колебания на входе объекта, и при скоростях дрейфа, существенно меньших скоростей рабочего движения, уравнение Риккати (19-73) рассматриваемой системы экстремального регулирования обращается в уравнение Бернулли:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

где

значение при

Из самого вида полученного решения вытекает возможность возникновения довольно сложных движений простейшей экстремальной системы при больших отклонениях. В частности, может появиться своеобразная неустойчивость или расходимость процессов при

В связи с этим целесообразно ввести специальное определение устойчивости применительно к рассматриваемым системам. Это определение дадим отдельно для случая регулярных сигналов поиска и отсутствия шумов и для случая, когда одна или обе функции являются случайными функциями времени. Для детерминированной задачи состояние, соответствующее экстремуму, будем называть устойчивым в заданной области больших отклонений если при любых начальных отклонениях принадлежащих этой области, и при любой начальной фазе движений выполняются условия:

а) отклонение определяемое уравнениями больших отклонений, стремится к нулю при

б) отклонение ни при каком не обращается в

Для случайных процессов состояние экстремума будем считать устойчивым в области больших отклонений, если те же условия выполняются для математического ожидания и дисперсии отклонений

Для детерминированной задачи из приведенного определения и выражения (119-76) непосредственно вытекает, что для обеспечения устойчивости в области больших отклонений необходимо и достаточно выполнение двух условий:

Знак втором выражении появляется потому, что область больших отклонении по определению включает значение так и значение .

Определим соотношения параметров рассматриваемой системы, при которых обеспечивается устойчивость в области больших отклонений, для гармонического поискового движения:

при отсутствии шума Здесь соответственно

амплитуда, частота и фаза поисковых колебаний. В данном случае

и при первое условие устойчивости выполняется..

Второе условие устойчивости (19-77) в рассматриваемом случае при имеет вид:

где

При функция положительная, монотонно убывающая, равная 1 при Величина

достигает наибольшего значения при

где период колебаний поиска. Таким образом,

Из дальнейшего можно видеть, что величина является достаточно точной оценкой верхней границы интеграла (19-79).

В соответствии с этим условие устойчивости (19-78) можно заменить приближенным:

Это соотношение между коэффициентом усиления а, периодом поиска амплитудой поиска и верхней границей начальных отклонений обеспечивает гари устойчивость процесса экстремального регулирования в области больших отклонений.

Нетрудно преобразовать соотношение (119-80), вводя в него время переходного процесса экстремального регулирования в области больших отклонений. Действительно, из общего выражения (19-76) следует, что затухание отклонений при выполнении второго условия устойчивости (19-77) [или в рассматриваемом случае (19-80)] определяется функцией

В рассматриваемом случае функция

при имеет мажорантой функцию

и отклонения практически затухают (переходят в область малых отклонений) при где удовлетворяет условию

Определяя из этого соотношения а и подставляя его в (19-80), находим:

По условию и вторым членом в скобках можно пренебречь. Таким образом, условия устойчивости экстремального регулирования в области больших отклонений при гармонических поисковых колебаниях, отсутствии шумов и принятых допущениях имеют вид:

Эти условия указывают на то, что при форсировании процесса экстремального регулирования, т. е. сокращении времени путем увели-. чения коэффициента усиления а, начиная с некоторого значения всегда теряется устойчивость процесса регулирования в области больших отклонений. Эта потеря

устойчивости при отсутствии шумов проявляется в неограничвииом нарастании отклонений на начальном этапе переходного процесса. Критическое значение приближенно равно:

и при составляет Таким образом, при в области больших отклонений нельзя получить время переходного процесса меньшее семи периодов колебаний поиска.

Перейдем к рассмотрению условий устойчивости при наличии шумов. Согласно приведенному определению для обеспечения устойчивости в области больших отклонений необходимо и достаточно, чтобы при как математическое ожидание так и дисперсия D функции

стремились к нулю при а вероятности обращения в бесконечность были весьма малы. Для выполнения этих условий в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы

Последнее неравенство выражает условие, при котором весьма мала вероятность выбросов случайной функции превосходящих модуль математического ожидания знаменателя формулы (19-83). Практически при обычно встречающихся законах распределения вероятностей достаточно, чтобы левая часть неравенства в 3 раза превосходила правую часть:

Анализ условий (19-84) и для случая, когда поисковые колебания являются гармоническими, а центрированная случайная функция близка к гауссову белому шуму, дает следующие результаты. Условия устойчивости в области больших отклонений могут быть записаны в виде:

Здесь спектральная плотность шума

Берхнее неравенство является и необходимым и достаточным условием соответствующего вида устойчивости (сходимость дисперсии и математического ожидания при Нижнее неравенство является только достаточным условием весьма малой вероятности неограниченного нарастания отклонения от экстремума в некотором интервале времени.

Область больших отклонений поясняет рис. 19-23. Система может оказаться в этой области либо при наличии больших отклонений от экстремума, в момент включения, либо при быстрых смещениях экстремума, либо при потере устойчивости в области малых отклонений.

Рис. 19-23. Области больших и малых отклонений в экстремальной системе.

в) Область малых отклонений от точки экстремума

Областью малых отклонений будем называть область таких значений в которой квадратичным членом уравнения можно пренебречь. Из выражений для функций

следует, что если отклонение существенно меньше (поисковых и шумовых отклонений за исключением, быть может, некоторых малых интервалов времени, то член все время или почти все время существенно меньше и такие отклонения можно считать малыми.

Таким образом, отклонения существенно меньшие «размаха» поисковых и шумовых колебаний, всегда можно считать малыми. Однако если переписать уравнение (19-73) в интегральном виде:

то можно заметить, что член будет играть малую роль не только при малых но и при высокочастотных колебаниях поиска -абх) и медленном изменении А. Этот случай по существу соответствует переходу к ивазистационарному режиму, когда любые отклонения А можно считать «малыми» в указанном смысле.

В области малых отклонений (19-73) вырождается линейное уравнение первого порядка:

решение которого имеет вид:

Здесь с — произвольная постоянная, определяемая начальным отклонением Функция имеет прежнее выражение:

Устойчивость в области малых отклонений определяется затуханием математического ожидания и дисперсии функции Е:

Таким образом, условия устойчивости в области малых отклонений полностью совпадают с первыми двумя условиями устойчивости в области больших отклонений. Отсюда вытекает также, что если для рассматриваемой системы обеспечивается устойчивость в области больших отклонений, то всегда будет обеспечена устойчивость в области малых отклонений.