б) Оценки распределения корней. Степень устойчивости. Коэффициент затухания колебаний

Кроме используется еще одна простая мера быстродействия системы—расстояние от мнимой оси до ближайшего корня или до ближайшей пары комплексных" сопряженных корней. Величина получила наименование степени устойчивости [Л. 10-22 и 10-23].

Пара комплексных сопряженных корней оценивается также по

относительному коэффициенту затухания

где

Коэффициент затухания где угол между отрицательной вещественной полуосью и вектором корня или (рис. 10-6). Чем больше угол тем, очевидно, меньше коэффициент затухания. Если назначить степень устойчивости и угол то мы тем самым назначим область допустимого расположения корней характеристического уравнения (рис. 10-7). Можно еще более уточнить область расположения корней, назначив 1 — расстояние до наиболее удаленного от мнимой оси корня (рис. 10-8).

Решение прямой задачи (задачи анализа) - определение степени устойчивости наименьшего затухания (или наибольшего и расстояния до наиболее удаленного корня по известным коэффициентам характеристического уравнения — дело довольно трудное. Гораздо проще решается обратная задача (задача синтеза) — выбор параметров системы и, в частности, коэффициентов уравнений по заданным значениям

Пусть, например, задано значение степени устойчивости

Рис. 10-6. Пара комплексных корней.

Рис. 10-7. Область расположения корней при заданной степени устойчивости.

Рис. 10-8. Область расположения корней при заданных степени устойчивости и расстоянии до наиболее удаленного от мнимой оси корня.

Перенесем мнимую ось и, следовательно, начало координат влево на величину Комплексная переменная изменится и станет равной . В новых координатах исследуемое характеристическое уравнение примет вид:

или

где функции и

Применение к уравнению (10-37) любого критерия устойчивости позволит установить, удовлетворяется ли при заданном значении параметров заданная степень устойчивости Для решения той же задачи в отношении 5 мнимую ось переносят на величину и изменяют знак на обратный для того, чтобы в новых координатах корни оказались левее мнимой оси.

Для определения параметров, обеспечивающих заданные значения удобно воспользоваться методом D-разбиения. Пусть заданы все три величины: значит, что задан четырехугольник, изображенный на рис. 10-8. Для использования метода D-разбиения необходимо изменять независимую переменную так, чтобы двигаться по периметру четырехугольника При этом в силу

симметрии достаточно обойти верхнюю часть а, б, в, г. На участке следут положить и менять от до На участке следует положить где и изменять от до

На участке положить и изменять от до нуля. В результате построения границы D-разбиения будут найдены все значения двух (или одного) параметров системы, при которых все корни лежат внутри и на границе четырехугольника

Рассмотрим — в качестве примера характеристическое уравнение третьей степени

и поставим задачу найти в плоскости параметров линии равных затуханий С пары комплексных сопряженных корней. Подставив в уравнение получим по условию тождество

Из этого тождества образуются два уравнения с вещественными коэффициентами

Решая их относительно находим:

Так как

и

то уравнения (10-41) и (10-42) преобразуются в более простые

Это - параметрические уравнения кривой заданного значения затухания в плоскости параметров (параметр подлежит исключению). По уравнениям (10-43) и (10-44) на графике построены линии равных затуханий в плоскости При получается параметрическое уравнение границы области устойчивости (гиперболы Вышнеградского). При уравнения (10-43) и (10-44) дают границу области, соответствующей всем трем вещественным корням. Исключение параметра при дает уравнение границы

Это уравнение было получено еще Вышнеградским. Если в уравнениях (10-43) и (10-44) в качестве параметра взять то в плоскости можно определить линии равных Исключая параметр находим:

Линии равных являются прямыми в плоскости . В области вещественных корней [между кривыми, определяемыми уравнением (10-43) и (10-44) в качестве паракаются. Например, пересечение трех прямых в точке указывает, что имеются три варианта представления характеристического полинома (10-38) как произведения трехчлена на двучлен. Диаграммы на рис. 10-9 дают исчерпывающую связь между

Рис. 10-9. Линии равных затуханий и линии в плоскости коэффициентов уравнения (10-38).

коэффициентами уравнения третьего порядка и корнями.

Как уже упоминалось, способ D-разбиения можно использовать для одновременного выделения в плоскости каких-либо двух параметров системы как областей равной степени устойчивости, так и областей равных затуханий. В качестве примера на рис. 10-10 приводятся такие области в плоскости параметров для системы стабилизации скорости вращения двигателя (структурная схема рис. при следующих значениях параметров и сек (измеритель взят в виде инерционного звена). Построение областей на рис. 10-10 проведено для и для различных Заштрихованные области указывают на значения выше граничных.