б) Условия оптимальности при свободном выборе передаточной функции

Расширение возможностей реализации заданных передаточных свойств систем регулирования при помощи активных непрерывных корректирующих цепей, цифровых вычислительных машин и схем самонастройки придает большую актуальность общей постановке задачи оптимальной фильтрации. При такой общей постановке на передаточную функцию синтезируемой системы не накладывается никаких предварительных ограничений, кроме наиболее слабого требования физической реализуемости. Это наиболее слабое требование заключается в том, что реакция системы на какое-либо внезапное воздействие не может опережать во времени это воздействие, ибо причина предшествует следствию.

Математически наиболее слабое условие физической реализуемости для линейных стационарных систем записывается так:

т. е. реакция системы на -функцию, действующую в момент равна нулю в предшествующее этому моменту время.

В качестве основного примера решения задачи оптимальной фильтрации при свободном выборе передаточной функции рассмотрим решение Винера [Л. 12-3 и 12-4].

Пусть на вход системы с не определенными пока передаточной функцией и импульсной переходной (весовой) функцией воздействуют случайный стационарный полезный сигнал и случайная стационарная помеха

Рис. 12-8. К решению задачи оптимальной фильтрации.

с заданными автокарреляционными и взаимными корреляционным и функциями. Кроме того, задан некоторый идеальный, точнее желаемый, оператор к которому необходимо приблизить свойства синтезируемой системы в смысле воспроизведения полезного сигнала

Обозначим:

Задача ставится так. Найти физически осуществимую, т. е. подчиняющуюся условию

импульсную переходную функцию, при которой средний квадрат ошибки

минимален. Постановку указанной задачи иллюстрирует схема рис. 12-8, где сплошными линиями обозначена синтезируемая система, а пунктирными — идеальная система. По условию

Поэтому

Применяя операцию математического ожидания к обеим частям равенства, находим:

Здесь

— корреляционная функция случайной функции корреляционная функция случайной функции о, которая может быть найдена по согласно ранее рассмотренным правилам; взаимная корреляционная функция, вычисляемая согласно тем же правилам.

Импульсную переходную функцию представим в виде:

где искомая импульсная переходная функция, минимизирующая средний квадрат ошибки произвольная функция постоянный коэффициент.

Подставляя это выражение в уравнение (12-36), получаем:

По условию должно быть минимальным при стало быть

Дифференцируя полученное выражение по а и приравнивая производвую нулю при , находим:

Но два двойных интеграла в левой части равенства равны друг другу. Поэтому

Равенство должно выполняться любой функции Отсюда следует:

Это интегральное уравнение при заданных корреляционных функциях определяет оптимальную импульсную переходную функцию минимизирующую среднеквадратичную ошибку Оно носит название уравнения Винера—Хопфа.

Следует обратить внимание на то, что правая часть интегрального уравнения представляет собой свертку для функций стало быть, это уравнение можно трактовать так: система обладает оптимальной в рассматриваемом смысле переходной функцией в том случае, если она преобразует импульс в импульс

Для определения оптимальной переходной или передаточной функции необходимо решить интегральное уравнение (12-37) при условии, физической осуществимости

Приводим без доказательства решение, данное Винером:

Здесь оптимальная передаточная функция; -взаимная спектральная плотность; передаточная функция фиктивного формирующего фильтра;

Интегральное уравнение (12-37) и его решение в виде (12-38) охватывают большое число частных случаев, соответствующих конкретному заданию, идеального оператора и корреляционных функций.

Пример 1. Пусть на вход системы, поступают слабый стационарный полезный сигнал со спектральной плотностью и независимый белый шум со спектральной плотностью причем Требуется определить передаточную функцию или частотную характеристику системы, при которой среднеквадратичная ошибка воспроизведения полезного сигнала минимальна.

По условию задачи

Поэтому из формулы (12-38) здесь равно Но причем статистически независимо от х. Таким образом, здесь

С другой стороны,

Формула (12-38) для оптимальной частотной характеристики в данном случае дает:

Таким образом, оптимальная частотная характеристика при выюоком уровне шума в первом приближении пропорциональна кривой спектральной плотности полезного сигнала.

Пример 2. На вход системы поступают случайный стационарный полезный сигнал со спектральной плотностью и независимая стационарная помеха со спектральной плотностью Требуется «айти передаточную функцию, при которой наиболее точно (в смысле среднеквадратичной ошибки) выделялось бы упрежденное значение полезного сигнала, а именно величина По условию задачи

Ввиду независимости

Формула (12-38) для оптимальной передаточной функции в данном случае принимает вид:

где

В частности, если Помеха по отношению к полезному сигналу является высокочастотной и может быть приравнена белому шуму и если то

Таким образом, при действии интенсивных помех типа белого шума оптимальной операцией упреждения является сочетание фильтрации в системе с амплитудной частотной характеристикой, соответствующей спектральной плотности полезного сигнала, и сдвиг во времени величину

Наряду с оптимальной передаточной функцией важное значение имеет выражение для минимальной среднеквадратичной ошибки, соответствующей этой передаточной функции. Подставляя выражение (12-37) в (12-36), получаем:

таким образом,

Учитывая, что

получаем окончательно: 00

или

где оптимальная передаточная функция.

Формулы (12-39) и (12-40) характеризуют предельную точность, которая соответствует оптимальному (в рамках сформулированных условий) линейному оператору.

Изложенная теория Винера основана на следующих предположениях:

1. Как полезный сигнал, так и помеха — стационарные случайные функции.

2. Точки входа в систему полезного сигнала и помехи совпадают.

3. Система является одномерной.

4. Единственным условием физической осуществимости служит условие при

5. Время действия синтезируемой системы (время наблюдения) неограниченно и охватывает весь бесконечный интервал от до предшествующий данному моменту.

Дальнейшее развитие теории оптимальных в статистическом смысле операторов шло как в направлении обобщения заменой исходных условий более широкими, так и в направлении конкретизации исходных условий. Однако основные усилия были направлены в сторону обобщения.

Заде и Рагаццини ] решили задачу для случая, когда полезная составляющая сигнала выражается полиномом по времени

где совершенно произвольные величины, и требуется обеспечить астатизм порядка по отношению к Для случая, когда случайные величины с известными корреляционными моментами задача рассмотрена В. М. Семеновым [Л. 12-9], а для случая, когда заданные постоянные величины, — В. В. Солодовниковым и П. С. Матвеевым [Л. 12-10]. Пелэгрэн рассмотрел одномерную систему, в которой управляющее (задающее) и возмущающее воздействия приложены к различным точкам [Л. 12-11]. Обобщения на многомерные системы, нестационарные системы, конечное время накопления осуществлены несколькими авторами [Л. 12-6 и 12-10]. Наиболее общее рассмотрение дано В. С. Пугачевым [Л. 12-12]. Таким образом, теория оптимальных операторов развилась в достаточно обширную область теории случайных процессов.

Однако определение оптимального оператора еще не есть решение задачи синтеза системы. Прежде всего следует заметить, что оптимальный оператор, даже удовлетворяющий наиболее слабому условию физической осуществимости при чаще всего оказывается практически нереализуемым. Оптимальный оператор часто не удовлетворяет другим ограничениям, связанным с энергетикой системы, простотой технической реализации и пр. Например, оператор, весовая функция которого удовлетворяет интегральному уравнению (12-37), должен преобразовывать импульс в импульс Но корреляционные функции соответствуют симметричным импульсам. Это означает, что оптимальный оператор имеет безынерционные или «упреждающие» составляющие. Таким образом, практически оказывается возможным лишь определенное приближение к оптимальному оператору.

Синтез системы осуществляется на основе ряда условий. Для одних систем главным является приближение к оптимальному в статистическом смысле оператору, для других систем — иные требования качества процесса урегулирования. Основные приемы синтеза линейных стационарных систем рассмотрены в следующей главе.