б) Динамика квазистационарного режима систем экстремального регулирования, основанных на методе градиента

Как уже отмечалось, метод градиента в его идеальной форме заключается в том, что скорости изменения регулируемых величин пропорциональны соответствующим компонентам градиента:

Выше было показано, что метод градиента в его идеальной форме обеспечивает устойчивость экстремального регулирования в «большом», т. е. при любых начальных условиях. При реализации Метода градиента приходится учитывать запаздывание в исполнительных устройствах, устройствах измерения компонент градиента и в ряде случаев запаздывание в самом объекте. При этом уравнения, уступают место следующим:

Рис. 19-16. Структурная схема непрерывной системы экстремального регулирования, основанной на методе градиента.

где передаточная функция, одинаковая для всех каналов.

Кроме того, в реальной системе на выходах синхронных детекторов, помимо составляющих, пропорциональных компонентам градиента в рабочей точке присутствуют составляющие зависящие от поисковых колебаний текущих отклонений и шумов. Таким образом,

В квазистационарном режиме, при котором частоты поисковых колебаний велики в сравнении с максимальными частотами рабочих процессов экстремального регулирования, имеет место сильное подавление комбинационных частот и, стало быть, ослабление влияния функций Для квазистаци он арного режима функциями либо вообще пренебрегают, либо считают их независимыми от отклонений функциями времени.

Структурная схема непрерывной системы экстремального регулирования, основанной на методе градиента, для случая малых отклонений представлена на рис. 19-16.

Структурная схема системы совмещения изображений (рис. 19-13), где

является частным случаем данной структурной схемы.

Прежде чем рассматривать непосредственно квазистационарные процессы экстремального регулирования, обратим (внимание на уравнение объекта, т. е. вид функции

где

В уравнении первого приближения, соответствующем малым

отклонениям, отбрасываются высшие члены ряда, и функция выражается следующей квадратичной формой:

В -мерном пространстве координат поверхность

является поверхностью второго порядка, называемой общем случае цвадрикой [Л. 19-9]. Нас интересуют только такие функции которые имеют либо экстремум-максимум, либо экстремум-минимум. Для таких функций квадрика представляет собой эллипсоид. Главные направления эллипсоида

в общем случае повернуты относительно осей координат центр этого эллипсоида совпадает с центром координат Уравнение вида

включающее все коэффициентов квадратичной формы, называется вековым уравнением 1. В теории квадратичных форм доказывается следующее важное положение.

Для случая экстремума-минимума все корней векового уравнения (19-29) положительны и обратно пропорциональны квадратам полуосей эллипсоида:

Для случая экстремума-максимума все корней векового уравнения отрицательны и обратно пропорциональны квадратам мнимьис полуосей эллипсоида:

или (что то же) взятым с обратным знаком квадратам действительных полуосей эллипсоида

Эллипсоид (19-31) для экстремума-максимума и эллипсоид (19-30) для экстремума-минимум а назовем определяющими эллипсоидами.

Вернемся к изучению процессов экстремального регулирования. Дифференцируя (19-25) и учитывая, что получаем:

где

При отсутствии фильтров на выходе синхронных детекторов и из структурной схемы рис. 19-16 или уравнений (19-24) и (19-32) следует, что

Но

Поэтому

В раскрытой форме уравнения системы при выглядят так:

Воздействия как уже отмечалось, в общем случае создаются как внешними возмущающими воздействиями, приложенными исходной схеме к выходу объекта, так и возмущающими воздействиями на входе объекта.

Первый вид воздействия не зависит от отклонений координат Воздействия второго вида, будучи приведены в преобразованной структурной схеме к выходу объекта, зависят от текущих отклонений Последнее относится и к составляющим, обусловленным грамониками и комбинационными частотами поисковых колебаний.

Таким образом, в общем случае уравнения (19-35) являются нелинейными уравнениями с переменными коэффициентами. Однако в квазистационарном режиме вторыми составляющими воздействий можно пренебречь либо ввиду их малости, либо ввиду сильного подавления высокочастотных составляющих в инерционных звеньях системы. Тогда (19-35) обращаются в линейные, практически стационарные уравнения. Именно этот случай и рассматривается в дальнейшем.

Из уравнений (19-35) видно, что система обладает астатизмом первого порядка по отношению к положению экстремума, характеризуемого координатами ххпэ. Очевидно, что в условиях значительного смещения экстремума астатизм по отношению к положению экстремума необходим для любой системы экстремального регулирования.

Уравнения системы удобно записать в виде отношения определителей:

где

Определитель получается из заменой столбца столбцом правых частей уравнений (19-36), а определители представляют собой миноры элементов столбца определителя

Характеристическое уравнение системы

с точностью до множителя при корнях этого уравнения совпадает с вековым уравнением (1929) квадратичной формы Итак, характеристическое уравнение замкнутой непрерывной системы экстремального регулирования в квазистационарном режиме при с точностью до множителя при корнях этого уравнения совпадает с вековым уравнением квадратичной формы,

аппроксимирующей экстремальную функцию в области малых отклонений.

Для случая экстремума-максимума все корми векового уравнения отрицательны, а величина

Для случая экстремума-минимума все корни векового уравнения положительны, а величина

Таким образом, все корни характеристического уравнения замкнутой системы экстремального регулирования в квазистационарном режиме при вещественны, отрицательны и экстремальное положение системы устойчиво «в малом» (по Ляпунову). Этот вывод можно было сделать сразу из приведенного выше, доказательства устойчивости большом» для случая идеального выполнения метода градиента.

Характеристическое уравнение (19-37) позволяет не только установить наличие устойчивости, но и определить время установления экстремума, точнее, время переходных процессов экстремального регулирования отри начальных отклонениях в той области, где справедливо описание функции квадратичной формой.

Действительно, максимальное время установления экстремума при произвольных начальных условиях в указанной области определяется степенью устойчивости системы, т. е. величиной минимального по модулю отрицательного корня характеристического уравнения. А именно:

По истечении времени отклонения (без учета шумов и других возмущающих сил) не превосходят начальных значений. Согласно предыдущему величина равна:

где — длина наибольшей полуоси определяющего эллипсоида

Таким образом,

Перейдем к рассмотрению передаточных функций и условий устойчивости экстремальной системы регулирования с учетом инерционности каналов системы. Инерционность каналов характеризуется передаточной функцией

Из сопоставления выражений (19-22) и видно, что передаточные функции системы с учетом инерционности каналов получаются из (19-36) путем замены постоянного множителя а на

где

Характеристическое уравнение системы — х

отличается от векового уравнения квадратичной формы заменой К на Таким образом, все корни характеристического уравнения определяются соотношениями

где полуоси определяющего эллипсоида. Знак «+» соответствует

экстремуму-минимуму, знак «-» - экстремуму-максимуму.

Коэффициент усиления каналов системы выбирается отрицательным для случая экстремума-минимума и положительным для экстремума-максимума. Поэтому удобно ввести знак в обозначение и выражение (19-42) записать в виде:

или

Обратим внимание на структурную схему системы, представленную на рис. 19-16. Рассмотрим изолированные каналы, в которых место объекта регулирования занимают усилительные звенья с коэффициентом передачи (рис. Характеристические уравнения таких каналов будут иметь вид:

т. е. они совпадают с уравнениями (19-43).

Итак, непрерывная система экстремального регулирования, основанная на методе градиента, в квазистационарном режиме будет устойчива тогда и только тогда, когда устойчивы изолированных каналов, в которых место объекта регулирования занимают передаточные звенья с коэффициентами усиления, обратно пропорциональными квадратам полуосей определяющего эллипсоида,

Рис. 19-17. Изолированный канал, иллюстрирующий условия устойчивости в квазистационарном режиме.

Анализ устойчивости каждого изолированного канала легко осуществляется обычными методами. Пусть, например, требуется установить условия устойчивости системы экстремального регулирования совмещения изображений, структурная схема которой представлена на рис. 19-18. В этом случае

и уравнения (19-43) имеют вид:

или

где

Условие устойчивости, согласно критерию Гурвица, запишется в форме

Эти условия, очевидно, сводятся к одному неравенству:

где наименьшая полуось определяющего эллипсоида.

Имея передаточные функции экстремальной системы в виде (19-40), можно на основе обычных методов исследования линейных систем определить исчерпывающие характеристики качества процессов экстремального регулирования в квазистационарном режиме.

Если экстремальная функция такова, что определяющий эллипсоид не сильно вытянут, то метод градиента при правильном выборе параметров дает вполне удовлетворительное качество процессов экстремального регулирования. Если же определяющий эллипсоид вытянут сильно, так что одна или несколько его осей значительно больше других, то при методе градиента могут возникнуть затруднения с обеспечением необходимого качества процессов регулирования. Убедиться

Рис. 19-18. Структурная схема непрерывной системы связанного экстремального регулирования.

в этом можно непосредственно по формулам (119-38) и (19-43), из которых следует, что при резком различии полуосей определяющего эллипсоида один или несколько корней характеристического уравнения получаются весьма малыми, а другие корни — большими. Время установления экстремума (19-39) в этом случае при некоторых начальных условиях оказывается чрезмерно большим. Выход из такого положения заключается в применении связанного регулирования.

Связанное регулирование для систем автоматического управления со многими регулируемыми величинами было впервые разработано И. Н. Вознесенским [Л. 19-15 и 19-16].

При связанном экстремальном регулировании скорость изменения координаты х устанавливается пропорциональной не одной составляющей градиента а некоторой линейной комбинации составляющих градиента

где постоянные коэффициенты, выбираемые в соответствии с коэффициентами квадратичной формы (19-26).

Структурная схема непрерывной системы связанного экстремального регулирования принимает при этом вид, изображенный на рис. 19-18. Передаточные числа следующего за объектом преобразователя координат описываются квадратной матрицей коэффициентов

Одним из примеров реализации преобразователя с матрицей может служить схема со сложением опорных напряжений на трансформаторах (рис. 19-19).

Согласно (19-32)

Из (19-45) поучаем:

Задавая коэффициенты матрицы так, чтобы

Рис. 19-19, Пример реализации матрицы частоты поиска.

получаем независимых идентичных уравнений:

или

Таким образом, получается простая передаточная функция, одинаковая для всех каналов.

Введение перекрестных связей, характеризуемых матрицей коэффициентов удовлетворяющих соотношению (19-47), можно рассматривать как преобразование координат, при котором определяющий эллипсоид превращается в шар.