ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

11-1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ

Нестационарными системами автоматического регулирования или нестационарными динамическими системами называются системы, параметры которых изменяются с течением времени.

Коэффициенты уравнений нестационарных систем в связи с этим являются функциями времени. Если говорить строго, то, видимо, все системы автоматического регулирования нестационарны, поскольку и у стационарных систем невозможно гарантировать идеальную стабильность их параметров в процессе эксплуатации.

Нестационарные системы могут быть, линейными и нелинейными. В этой главе речь будет идти о линейных нестационарных системах. Для линейных нестационарных систем справедлив принцип суперпозиции и их поведение описывается или системой линейных дифференциальных уравнений, или одним уравнением, к которому после исключения переменных сводится система уравнений

где выходная величина системы; — входное воздействие или возмущение; коэффициенты дифференциального уравнения; коэффициенты правой части дифференциального уравнения при заданной функции и ее производных.

Будем считать, что коэффициенты могут быть представлены или аппроксимированы полиномами и не будем касаться случаев, когда являются периодическими функциями времени.

Два обстоятельства приводят к необходимости исследования уравнений типа (11-1):

1. Изменение параметров систем в процессе эксплуатации. Примерами могут служить изменение массы или веса ракет и самолетов по мере выгорания топлива, изменение коэффициентов усиления усилителей следящих систем по мере изменения характеристик элементов (ламп или полупроводников)

2. Линеаризация исходных нелинейных уравнений систем или другие менее строгие виды идеализации этих уравнений.

В гл. 21 и 7 приводились примеры линеаризованных уравнений или уравнений для малых отклонений

координат от их базовых значений при некотором установившемся режиме системы. Коэффициенты линеаризованных уравнений являются функциями базовых значений координат для выбранного (базового) режима. Примером могут служить уравнения центробежного измерителя (2-16) и уравнения самолета В первом случае коэффициенты уравнения зависят от величины базовой скорости вращения во втором — от скорости полета Поскольку постоянны, то и коэффициенты линеаризованных уравнений постоянны. Если линеаризацию уравнений проводить для других режимов, с другими базовыми значениями координат (с другими значениями По и рассмотренных примерах), то и коэффициенты линеаризованных уравнений будут другими. Однако бывают случаи, когда базовые координаты изменяются с течением времени. Тогда и линеаризованные уравнения будут переменными коэффициентами, т. е. будут функциями времени. Так, уравнения самолета (7-18) при изменяющейся скорости будут, очевидно, функциями времени.

При исследовании нелинейных или нелинейных нестационарных уравнений часто используется прием, позволяющий свести их к исследованию линейных нестационарных уравнений; Система уравнений, описывающая движение управляемого или неуправляемого объекта, разбивается на две группы: группу уравнений, описывающих сравнительно медленные процессы, и группу уравнений, описывающих скоротечные процессы. Далее проводится приближенное решение первой группы уравнений. Найденные координаты движения первой группы дают возможность определить коэффициенты уравнений второй группы как функции времени. Типичным примером может служить исследование процесса управления полетом баллистической ракеты на активном участке. К медленным процессам здесь относится процесс изменения скорости ракеты и высоты; к процессам, протекающим значительно быстрее, относятся угловые колебания ракеты относительно центра тяжести и процессы в системе управления или в автопилоте ракеты. Пренебрегая влиянием угловых колебаний на скорость полета и полагая, что программа направления полета выполняется идеально, можно найти (например, путем численного интегрирования) скорость полета и плотность воздуха как функции времени. Определив и , получаем тем самым линейные уравнения короткопериодических колебаний ракеты с переменными коэффициентами. С помощью этих уравнений выбираются структура и параметры автопилота, а также исследуется точность выполнения программного полета.

В качестве примера рассмотрим автоматическое управление самолетом в процессе движения к взлетно-посадочной полосе Система автоматического управления еще до подхода к должна уменьшить до нуля боковое отклонение центра тяжести самолета от оси ВПП (рис. 11-1).

Радиомаяк РМ, в зоне действия которого летит самолет, дает возможность получить на борту сигнал угла между осью ВПП и прямой «самолет — маяк». Кроме этого, на борту самолета имеется сигнал угла — отклонения курса самолета от посадочного. Автопилот, управляющий креном самолета у в функции углов выводит самолет на ось ВПП, уменьшая боковое отклонение до пуля. Уравнения движения самолета без скольжения и

Рис. 11-1. Автоматическое управление посадкой самолета.

в спокойной атмосфере (без ветра) будут иметь вид:

где вес самолета; расстояния от самолета до маяка, измеренное вдоль, оси

Первое уравнение в системе (11-2) - уравнение динамики бокового движения; второе — уравнение системы управления; последние три кинематических уравнения связывают координаты Рассмотрим случай, когда уравнения (11-2) сводятся системе линейных нестационарных уравнений. В посадочном режиме угол крена у и угол всегда малы. Далее ограничим исследование движения также областью малых углов когда можно считать линейной функцией. При указанных предположениях получим систему линейных уравнений:

Последнее уравнение в системе (11-2) при оказывается независимым от всех других и может быть решено отдельно. Решение этого уравнения и записано в системе уравнений

Уравнения преобразуются в одно уравнение относительно «ли относительно

где

Как видно, оба уравнения с переменными коэффициентами.

Заметай, что уравнения (111-4) и (11-6) относятся к классу уравнений с особой точкой. Особая точка имеет место при что соответствует пролету самолета через маяк, когда

Для классификации и анализа уравнений с переменными коэффициентами важное значение имеет быстрота или медленность изменения коэффициентов уравнения

По степени быстроты или медленности изменения коэффициентов системы (11-1) можно разделить на три группы: 1) нестационарные; 2) квазистационарные; 3) стационарные с различными значениями коэффициентов . В последнем случае коэффициенты изменяются настолько медленно, что как аргумент и можно представить в виде параметра принимающего фиксированных значений. При этом исследование динамики системы сводится к исследованию уравнений (11-1) с постоянными коэффициентами Этот случай типичен при исследовании систем автоматического регулирования двигателей для различных режимов работы и самолетов с автопилотами.

Критериями медленности изменения коэффициентов могут служить различия между истинными значениями переходных функций и значениями этих функций при фиксированных для некоторого момента

Для квазистационарных систем различия не слишком существенны. В этом случае синтез системы обычно можно проводить на основе зафиксированных («заморженных») параметров или коэффициентов. А посте этого, если возникает необходимость уточнить динамические свойства, учитывают фактическую нестационарность системы или путем моделирования, или путем вычисления поправок к решению с зафиксированными коэффициентами (см. ниже).

При интенсивных изменениях коэффициентов система получается существенно нестационарной.