15-2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ

Дискретная передаточная функция замкнутой системы представляет собой дробно-рациональную функцию которую можно или разложить на сумму простых дробей, или представить виде ряда по степеням

где полюсы Передаточная функция является изображением импульсной реакции системы или дискретной импульсной переходной функции с общим членом последователыности Если система устойчива, то

Если ряд (15-15) бесконечный, то для устойчивой системы при Необходимое и достаточное условие устойчивости — пребывание внутри круга единичного радиуса всех полюсов передаточной функции

Для суждения об устойчивости по параметрам системы служат критерии, аналогичные критериям устойчивости непрерывных систем.

а) Аналог критерия Михайлова

Критерий Михайлова непосредственно вытекает из принципа аргумента. У устойчивой системы все полюсы или в нули расположены внутри круга единичного радиуса. Поэтому если положить где и изменять от до то у устойчивой системы приращение аргумента будет равно где I — число нулей

В силу симметрии расположения нулей относительно вещественной оси можно ограничить изменение пределами от до В этом случае система устойчива, если

и неустойчива, если

Рис. 15-3. Годографы устойчивых систем второго порядка.

Из (15-16) вытекает, что у устойчивой системы годограф обходит 21 квадрантов комплексной плоскости при изменении .

На рис. 15-3 в качестве примера приведены годографы устойчивых систем второго порядка.

По причинам, о которых [будет сказано ниже, иногда вещественные отрицательные корни и комплексные корни с отрицательной вещественной частью недопустимы. В этом случае обход по верхней полуокружности заменяется обходом по четверти окружности первого квадранта, когда изменяется от 0 до и по отрезку мнимой оси, когда изменяется от до нуля (рис. 15-4).

Рис. 15-4. Контур обхода.

б) Критерий Гурвица

Этот критерий применяется после подстановки

которая преобразует круг единичного радиуса плоскости в левую полуплоскость плоскости

Уравнение первого порядка

Уравнение имеет корень и следовательно, условие устойчивости имеет вид:

Уравнение второго порядка

Условиями устойчивости будут неравенства

Области устойчивости в плоскости параметров т. е. области, где удовлетворяются неравенства (15-19), приведены на рис. 15-5.

Рис. 15-5. Область устойчивости для системы второго порядка.

Как видно, даже для импульсных систем второго порядка условия Гурвица оказываются довольно громоздкими.

в) Амплитудно-фазовый критерий устойчивости (аналог критерия Найквиста)

Для доказательства критерия воспользуемся принципом аргумента (критерием Михайлова) и одной из формул для аргумента суммы двух комплексных чисел:

Рассмотрим знаменатель дискретной передаточной функции (15-6) замкнутой системы:

где - характеристический многочлен замкнутой системы и характеристический многочлен разомкнутой системы. Степени обоих многочленов одинаковы и равны

Применив к многочленам формулу (15-20), найдем, что

Формула (15-21) при изменении от до дает приращение аргумента

В устойчивой системе

Если все нули расположены внутри и на окружности единичного круга, то также равно Следовательно, при указанном распределении нулей должно быть

Выражение (15-22) есть математическая формулировка амплитудно-фазового критерия устойчивости. Из (15-22) вытекает, что если все нули расположены внутри или на границе круга единичного радиуса, то замкнутая система устойчива тогда и только тогда, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает точку —1 на вещественной оси. Чтобы понятия «охватывает» и «не охватывает» не теряли своей определенности при нулях расположенных на окружности единичного радиуса, ветви годографов дополняются дугами бесконечно больших радиусов.

Если среди I нулей полинома часть нулей расположена вне окружности единичного радиуса, условие устойчивости замкнутой системы будет иметь вид:

Построение годографа удобно производить графически, суммируя годографы элементарных звеньев. На рис. 15-6 в качестве примера построены годографы импульсной системы с линейной частью

Рис. 15-6. Годографы импульсной системы при различных импульсных элементах

Рис. 15-7. Частотные характеристики с дополнительными ветвями. а — интегрирующее звено: б - инерционное звено:

при трех значениях у импульсных элементов с равной интенсивностью импульсов. Как видно, чем больше у, тем ближе годограф к критической точке — и тем меньше запас устойчивости по фазе.

Построение годографов на рис. 15-6 производилось при на основе дискретных передаточных функций: для

В случаях, когда корни с отрицательной вещественной частью нежелательны, при построении годографа амплитудно-фазовой характеристики параметр следует изменять вдоль кривой, показанной на рис. 15-4. В диапазоне частот от до годограф вычисляется по формуле а в диапазоне от до формуле На рис. 15-7,а построен годограф интегрирующего, а на рис. 15-7, б - инерционного звена при изменении по контуру, указанному на рис. 15-4.

Если годограф, состоящий из двух ветвей, не охватывает точки — то замкнутая система устойчива и ее передаточная функция не имеет полюсов с отрицательной вещественной частью. Если годограф проходит через точку то имеются полюсы с нулевой вещественной частью. Если годограф проходит через точку при частоте то передаточная функция имеет полюсы, равные нулю.

г) Выделение областей устойчивости в пространстве параметров

Метод D-разбиения (метод Соколова-Неймарка), как и в непрерывных системах, является наиболее общим методом решения этой задачи. При выделении области устойчивости роль мнимой оси в плоскости выполняет окружность единичного радиуса в плоскости Метод D-pазбиения позволяет также выделять области с заданным расположением полюсов передаточной функции системы.