19-2. СПОСОБЫ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА

Необходимым условием экстремума дифференцируемой (имеющей производные) функции нескольких независимых переменных

является равенство нулю в точке экстремума частных производных этой функции:

Градиентом функции называется векторная величина

где единичные векторы осей, по которым отсчитываются величины В точке экстремума градиент равен нулю:

Задача поиска экстремума разбивается на две части: а) определение градиента или отклонений от точки экстремума; б) организация движения к точке экстремума. Для решения как первой, так и второй задач предложено большое число возможных способов.

а) Способы определения градиента

Способ синхронного детектирования. Данный способ может осуществляться как при регулярных, так и при случайных сигналах поиска (см. § 19-5). Для регулярных сигналов поиска способ заключается в том, что к основным медленно меняющимся величинам добавляются небольшие гармонические (в более общем случае — периодические) составляющие, имеющие разные частоты. Тогда

Выходная величина поступает на синхронные детекторы (рис. 19-7), к которым подводятся также гармонические составляющие

Синхронные детекторы выполняют умножение величины на гармонические составляющие и усреднение по времени полученных произведений. В соответствии с этим выходные величины синхронных детекторов равны:

Рис. 19-7. Схема синхронного детектирования для измерения компонент градиента.

где чертой обозначено среднее по некоторому интервалу времени.

Режим, при котором «рабочие» составляющие входных координат меняются медленно в сравнении с поисковыми колебаниями а время усреднения (накопления) велико в сравнении с периодом, соответствующим наименьшей поисковой со и разностной частотам, называется квазистационарным режимом.

Покажем, что в квазистационарном режиме величины с точностью до малых высшего порядка пропорциональны частным производным в точке стало быть, определяют градиент функции в указанной точке.

В большинстве случаев функцию в окрестности точки можно представить степенным рядом:

где значения частных производных соответствуют точке а величины равны:

В соответствии с этим выходные величины синхронных детекторов равны:

Если величины постоянны или меняются настолько медленно, что их изменениями за период наиболее низкочастотной составляющей произведений можно пренебречь, то

но

так как усреднение ведется по достаточно большому интервалу времени. Таким образом,

где

Отсюда видно, что величина А и в отношении амплитуд гармонических составляющих имеет высший порядок малости (не ниже третьего) по сравнению с (второйпорядок малости). Следует при этом заметить, что если любая из частот гармонических составляющих равна сумме или разности двух других, то

и величина А и имеет по крайней мере четвертый порядок малости.

Условиям при удовлетворяет распределение частот по закону нечетных чисел: где

Итак, при достаточно малых амплитудах гармонических составляющих в квазистационарном режиме выходные величины синхронных детекторов пропорциональны компонента до градиента функции в точке

Способ производной по времени. Наиболее характерной чертой данного способа определения градиента функции является дифференцирование этой функции по времени.

Производная по времени функции нескольких переменных равна:

где частные производные соответствуют текущим значениям координат Задавая тем или иным способом величины и измеряя производную можно определить компоненты градиента

При этом возможно большое число вариантов данного способа. Один из вариантов заключается в поочередном, последовательном во времени задании постоянных скоростей изменения регулируемых величин. Графики (рис. 19-8) поясняют указанный способ.

Работа схемы циклична, причем время цикла Т разбивается на интервалов . В каждом из

Рис. 19-8. Цикл задания координат при определении градиента методом производной по времени.

Рис. 19-9. Схема измерения градиента по способу временной производной.

интервалов с помощью вынужденного движения или специального автоколебательного режима задается конечная скорость изменения лишь одной координаты Скорости изменения других координат в этом интервале при отсутствии помех равны нулю:

Скорость изменения в первой половине интервала задается постоянной положительной, например равной 1. Во второй половине интервала

Из выражения следует, что в рассматриваемом интервале времени

Измеряя и учитывая знак определяем компоненту градиента Таким образом, за время цикла работы последовательно определяются все компонент градиента.

Одна из схем, реализующих указанный способ определения градиента для функции нескольких переменных, изображена на рис. 19-9. Генератор треугольных импульсов посылает посредством распределителя импульсы последовательно во входные цепи объекта. Выходная величина объекта подается на вход дифференциатора Выходная величина дифференциатора — производная поступает на распределитель, работающий синхронно с распределителем треугольных импульсов.

Система экстремального регулирования, использующая указанный способ измерения градиента функции нескольких переменных всегда дискретна с периодом чередования

Недостатком способа временной производной является высокий уровень высокочастотных помех на выходе дифференциатора, всегда присущий операции дифференцирования.

Способ запоминания экстремума. С помощью вынужденного или автоколебательного движения изображающая точка перемещается в окрестности экстремума Всякий раз, когда в процессе такого движения функция достигает экстремального значения оно фиксируется специальным запоминающим устройством. Градиент функции определяется по разности ее текущего и экстремального значений с помощью поисковых движений.

Для математического пояснения данного способа обратимся к (19-2). Поскольку в точке экстремума

Рис. 19-10. Определение градиента с запоминанием экстремума и синхронным детектированием.

выражение (19-2) можно представить в виде:

Здесь частные производные соответствуют точке экстремума; отклонения от этой точки. Из (19-7) видно, что текущие значения частных производных

равны:

Поэтому

Отсюда следует, что, измеряя разность и задавая отклонения можно с точностью до малых высшего порядка определить текущие значения

Компоненты градиента функции многих переменных можно выделять из (19-9) по-разному. В частности, можно использовать метод синхронного детектирования, рассмотренный ранее. Соответствующая схема дана на рис. 19-10. В этой схеме к регулируемым величинам добавляются гармонические составляющие с различными частотами: Изображающая точка в пространстве описывает фигуры Лиссажу вокруг центра, соответствующего медленно меняющимся составляющим регулируемых величин. Если частоты не кратны, то изображающая точка в указанном процессе поиска время от времени проходит точку экстремума

Величина подается на запоминающее устройство. В случае, когда имеет место экстремум-максимум и величина представлена электрическим сигналом, запоминающее устройство может выполняться в виде конденсатора, заряжаемого через диод (рис. 19-10). Конденсатор заряжается до максимального напряжения, соответствующего экстремуму, и в течение относительно длительного времени сохраняет это напряжение.

Величины вычитаются; и разность подается на синхронные детекторы, на которые поступают также гармонические составляющие

Синхронный детектор с номером «пропускает» лишь ту составляющую величины

которая имеет частоту Таким образом, сигнал синхронного детектора с точностью до малых высших порядков пропорционален

величине некоторому среднему значению текущей компоненты градиента.